\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Papeete et Saint-Pierre-et-Miquelon juin 1963},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Papeete et Saint-Pierre-et-Miquelon}}
\rfoot{\small{juin 1963}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Papeete et Saint-Pierre-et-Miquelon juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit l'expression
\[A(x) = (2x - 3)(x - 1)^2 - 4(2x - 3).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item La mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.

Trouver les valeurs de $x$ qui rendent nulle l'expression $A(x)$.
\item Simplifier la fraction rationnelle
\[R(x) = \dfrac{(2x - 3)(x - 1)^2 - 4(2x - 3)}{(x + 1)^2(x - 3)}\]
et calculer la valeur numérique de la fraction $R(x)$ pour
$x = 4$,\: $x =3$\: et\: $x = \sqrt 3$, en utilisant la fraction la plus simple si cela est possible.
\item Construire sur le même graphique les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ représentant les fonctions
\begin{center}$y_1 = 2x - 3$,\qquad et \qquad  $y_2 = x + 1$.\end{center}

Calculer les coordonnées de A, point d'intersection de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.

$\left(D_1\right)$ coupe l'axe $y'\text{O}y$ en B et $\left(D_2\right)$ coupe l'axe $x'\text{O}x$ en C.

Calculer les coordonnées du milieu, M, de [BC], puis la longueur de AM.
\item Déterminer $x$ pour que la fraction $R(x)$ soit égale à 1.

Traiter le problème algébriquement, puis graphiquement,
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un segment [AB] tel que AB $= 8$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Il existe deux points sur la droite (AB), l'un, C,
intérieur au segment [AB], l'autre, D, extérieur, tels que
\[\dfrac{\text{CA}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{DA}}{\text{DB}} = \dfrac13.\]
Le montrer, en calculant CA,\: CB,\: DA,\: DB.
\item On trace le cercle de centre O, de diamètre [AB], et
le cercle de centre O$'$, de diamètre [CD].

Ces cercles se coupent en M et N.

Calculer OO$'$.

En déduire que les triangles OMO$'$ et ONO$'$ sont rectangles.

Calculer MN.
\end{enumerate}
\end{document}