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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Amérique Centrale}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Papeete
} septembre 1988 \decofourright}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités  numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer : $3\sqrt{45} - 7\sqrt{80} + \sqrt{20}.$

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression algébrique 

\[f(x) = (2x - 1)^2 + (x - 1)(2x - 1) - \left(4x^2 - 1\right).\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi peut-on mettre $(2x - 1)$ en facteur ? 
		\item En déduire que $f\left(\dfrac12\right) = 0$.
		\item Factoriser $f(x)$ et utiliser cette factorisation pour justifier que $f(3) = 0$.
		\item Développer l'expression $f(x)$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la valeur exacte de $f\left(\sqrt 3\right)$ est $9 - 7\sqrt 3$.

Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733,$ encadrer $f\left(\sqrt 3\right)$ (la valeur approchée par défaut à un dixième près de $f\left(\sqrt 3\right)$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre ; le plan est rapporté à
un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les trois points A(6~;~0), B(3~;~6) et C$(- 3~;~3)$ et calculer les distances AB, AC et BC.

En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle.
\item Déterminer une équation de la droite (AC).
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite d'équation $y = 3x - 3$ et vérifier que le point B appartient à cette droite.
		\item Montrer que cette droite est aussi la médiatrice du segment [AC] et donner les coordonnées du milieu I du segment [AC).
		\item Soit E le point où cette droite coupe l'axe O$y$. 
		
Donner l'ordonnée de E puis démontrer que (BAEC) est un carré.

Calculer en cm$^2$ l'aire de ce carré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Une association sportive de tennis propose trois tarifs mensuels:

\begin{itemize}
\item un prix fixe par heure de cours : \np{1500}~FCP;
\item une entrée de \np{4000}~FCP et un prix fixe de $500$~FCP par heure de cours;
\item un forfait de \np{8000}~FCP.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer dans chaque cas combien l'élève doit payer s'il prend respectivement $4$ heures, $7$ heures et $9$ heures de cours dans le mois.

Donner les résultats dans un tableau.
\item  Si $x$ représente le nombre variable d'heures de cours prises dans un mois, donner, dans les trois cas, l'expression du prix en fonction de $x$ :

\[p_1(x),\qquad p_2(x)\quad  \text{et} \quad  p_3(x).\]

\emph{Interprétation graphique du problème}

Sur un même graphique, l'unité de longueur étant le centimètre et le plan rapporté à un repère orthonormé d'axes O$x$ et O$y$, tracer les représentations graphiques des trois fonctions de la variable $x$.
	\begin{enumerate}
		\item Retrouver sur le graphique les résultats de la première question.
		
On pourra nommer les points d'abscisse $4$, $7$ et $9$ pour la clarté de la rédaction.
		\item Combien faut-il prendre d'heures de cours pour que le forfait soit plus rentable que chacun des deux autres tarifs ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}