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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Paris}
\lfoot{\small juin 1979}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris juin 1979 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne la fonction polynôme $P$, de $\R$ dans $\R$, définie par
\[P(x) = (3x - 1)(2x + 5) + 9x^2 - 1.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner P(x).
\item Montrer que, pour tout réel $x,$
\[P(x) = (ax + b)(3x - 1),\]

où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs que l'on précisera.
\item Étudier, suivant les valeurs de $x$, le signe de $(3x - 1)$ et celui de $(5x + 6)$; en déduire celui de $P(x)$ 

(On pourra dresser un tableau.)
\item Quel est l'ensemble $\mathcal{D}$ des nombres réels $x$ pour lesquels on peut calculer
\[\sqrt{(3x - 1)(5x +6)} ?\]

On considère l'application
\[\begin{array}{l l c l}
f:&\mathcal{D}&\to&\R\\
&x &\mapsto&\sqrt{(3x - 1)(5x +6)}.
\end{array}\]

Calculer, si elles existent, les images de $\dfrac13,\: -\dfrac65,\:0$ et $2$ par l'application $f$.
\item La fonction rationnelle $g$, de $\R$ dans $\R$, est donnée par
\[g(x) = \dfrac{9x^2- 6x + 1}{(3x - 1)(5x + 6)}\]

Quel est son ensemble de définition $\mathcal{D}_g$ ?

Simplifier, sur $\mathcal{D}_g$ l'écriture de $g(x)$.

Résoudre, dans $\R$, l'équation 
\[g(x) = 1.\]
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{\large GÉOMÉTRIE}
\end{center}

Le plan euclidien étant muni d'un repère
orthonormé \Oij, on donne les points

\begin{center}A(1~;~2),\qquad 
B$\left(\dfrac92~;~\dfrac52\right)$,\qquad  C$(4~;~-1)$, \qquad D$\left(\dfrac12~;~\dfrac32\right)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadruplet (A, B, C, D) est un parallélogramme.
\item Démontrer les trois propriétés suivantes :
\begin{itemize}
\item les vecteurs $\vect{\text{BD}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont orthogonaux;
\item le quadruplet (A, B, C, D) est un losange;
\item la droite (BD) est la médiatrice du segment [AC].
\end{itemize}
\item On appelle E le milieu du bipoint (A, D). 

Quelles sont ses coordonnées ? 

On appelle F le symétrique de C par rapport à O. 

Quelles sont ses coordonnées ? 

Démontrer que les points B, E et F sont alignés.
\item On appelle $\mathcal{C}$ le cercle dont le centre est D et qui passe par A.

Démontrer que les points C et F appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}