\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Paris juin 1983},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Paris}
\lfoot{\small juin 1983}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $a$ et $b$, deux réels ; on définit l'application
affine $g$, de $\R$ dans $\R$, par

\[g(x) = ax + b.\]

Calculer les réels $a$ et $b$, sachant que $g(0)= - 2$ et $g(3) = 4$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire, dans un repère orthonormé du plan, les représentations graphiques 
$(D)$ et $(\Delta)$ des applications affines $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$, définies par

\[\begin{array}{l c l r}
f(x)&=& -\dfrac12 x + 3&\quad (D)\\
g(x)&=&\phantom{-}2x - 2& (\Delta).
\end{array}\]

		\item Quelle constatation peut-on faire sur la position relative de $(D)$ et $(\Delta)$ ? 
		
Pouvait-on le prévoir ? Pourquoi ?
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection M des droites $(D)$ et $(\Delta)$.
		\item Résoudre graphiquement, dans $\R$,\: $f(x)\leqslant 0$,
		
dans $\R \times \R$\: $y + \dfrac12 x - 3 < 0$,

en indiquant clairement la légende utilisée, on pourra
donner cette réponse sur la figure construite au 2. a.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Il sera tenu compte de la figure que l'on construira avec soin dans un repère (O, I, J) orthonormé du plan, longueur du segment unité : 1 cm.

\emph{Notation} : pour tout couple (A, B) de points du plan, la distance de A à B est notée AB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\Delta$ parallèle à (OI) passant par J et le cercle de centre
 O et de rayon 2.

H est le point d'abscisse positive, intersection du cercle et de la droite $\Delta$.

H est le projeté orthogonal de C sur (OI).

B est le point de (CH) tel que $\vect{\text{HB}} = 3\vect{\text{HC}}$.

A est le symétrique de O par rapport à H.

D est le symétrique de C par rapport à H.

Placer ces cinq points.
\item Démontrer que OH $= \sqrt 3$.

Déterminer les coordonnées de H, A, B, C, D, puis les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Calculer OA, OB et AB.

En déduire la nature du triangle (A, O, B).
\item Tracer le cercle $\mathcal{C}$ de centre C passant par A, O et B et les tangentes $D_1$ et $D_2$ à $\mathcal{C}$ en A et B.

P est leur point d'intersection.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'ordonnée de P ?
		\item Calculer l'abscisse de P en utilisant l'orthogonalité de $\vect{\text{PA}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
		\item Montrer que les points O, P et C sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%