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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1960}
\rfoot{\small Paris}
\lfoot{\small février 1960}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris février 1960~\decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le périmètre d'un triangle ABC a pour mesure $160$~cm.

Ses côtés [BC], [CA] et [AB] ont des longueurs respectivement proportionnelles, à 5,\: 7 et 4.

Déterminer les longueur de ces côtés.
\item Par un point M du segment [AC] tel que BM $= x$, on mène la parallèle à (AB) coupant (AC) en N.

Évaluer en fonction de $x$ le périmètre $y$ du quadrilatère ABMN.
\item Représenter graphiquement les variations de ce périmètre : 1 cm sur le graphique représentera une longueur réelle de $20$~cm.
\item Déterminer par le graphique la valeur de $x$ pour laquelle $y =  120$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un segment [AB] de longueur $5$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul les positions des points M
et M$'$ qui partagent le segment [AB] dans le rapport $\dfrac32$.
\item On trace le cercle de diamètre [MM$'$].

Soit un point C de ce cercle: on trace [CA], [CM], [CB] et [CM$'$].

La parallèle à (AC) menée par B coupe les droites (CM) et (CM$'$) respectivement en D et en E.

Comparer les triangles MAC et MBD. Conséquences.

Puis comparer les triangles M$'$AC et M$'$BD.

En déduire que BE = BD.
\item Que peut-on dire du triangle DCE et de la droite (CB) de ce triangle ?

Que peut-on en déduire pour les triangle DCB et ECB ?

Montrer que [CM) est la bissectrice de l'angle de sommet $\widehat{\text{C}}$ du triangle ACH.

Que peut-on dire de [CM$'$) ?
\end{enumerate}
\end{document}