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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{juin 1952}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris juin  1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement le système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y - 4&=&0,\\
x + 2y - 2 &=&0.
\end{array}\right.\]
On prendra 1 cm pour unité.
\item Résoudre algébriquement ce même système et retrouver ainsi les résultats de la première question.
\item Soient A et B les points où la première droite coupe les axes O$x$ et O$y$ ; C et D les points où la deuxième droite coupe ces mêmes axes.

Déterminer l'aire du quadrilatère ABDC.
\item Par le point A on mène la perpendiculaire à la droite (AB) d'équation $x + y - 4= 0$.

Former l'équation de cette droite.

Peut-on déterminer géométriquement l'ordonnée de son point d'intersection I avec l'axe $y'y$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de centre O de diamètre [AB] tel que  AB $= 2R$.

On trace le rayon [OC] perpendiculaire en O à (AB) ainsi que la tangente en B au cercle $\mathcal{C}$ ; M étant un point variable de [OC], on trace (AM) qui coupe le cercle $\mathcal{C}$  au point N et la tangente [B$x$) en I. 

On mène la tangente en N ; elle coupe [B$x$) en P{}.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (OP) est médiatrice du segment [BN] et que (OP) est parallèle à (AM).
\item Démontrer que  M et P sont les milieux des côtés [AI] et [IB] du triangle AIB.

Qu'en conclure pour le segment [PM] en grandeur et direction et pour le quadrilatère AMPO ?
\item Démontrer que le quadrilatère MNPO est inscriptible et préciser sa nature.
\item Dans le cas particulier où M est le milieu de [OC],
trouver les mesures des segments [BI], [AI], [AN] et  [BN] ainsi que l'aire du quadrilatère OMNP.
\end{enumerate}
\end{document}