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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Après avoir décomposé ses deux termes en produits de facteurs premiers, rendre irréductible la fraction suivante : $\dfrac{\np{32760}}{\np{61425}}$
\item Chercher une fraction $\dfrac ab$ qui devienne égale à  $\dfrac45$; quand on ajoute $20$ à chacun de ses deux termes et qui devienne égale à $\dfrac{3}{10}$ quand on retranche 5 à chacun de ses deux termes.
\item Représenter graphiquement sur un même système d'axes de coordonnées, en prenant $0,5$~cm pour unité, les droites représentatives de la variation de chacune des fonctions

\begin{center}$y = \dfrac45 x - 4$\qquad et \qquad $y = \dfrac{3x}{10} + \dfrac72$.\end{center}

Déterminer graphiquement les coordonnées du point de rencontre des deux droites.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Par un point H pris sur la bissectrice A$z$ d'un angle $x\text{A}y = 60\degres$, on mène la perpendiculaire (HM) à A$y$ et la perpendiculaire à A$z$, qui coupe A$x$ en B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que AH est moyenne proportionnelle entre AB et AM.

Si AH $= a$, calculer AB et AM et vérifier par le calcul la relation précédente.
\item Le prolongement de [MH] coupe A$x$ en N ; celui de [BH] coupe A$y$ en C.

Montrer que le triangle BHN est isocèle et que BN = HC.
\item Le cercle de diamètre [CB] coupe A$y$ en D et A$x$ en E.

Nature du quadrilatère BCDE.

Que représente HE pour le triangle AHB ?

En déduire la longueur DE en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}