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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Paris}
\lfoot{\small juin 1967}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Paris juin 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

Soit l'expression
\[A(x) = (2x - 3)(3x + 5) - (2x - 1)(2x - 3) - 6x + 9.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et ordonner $A(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Décomposer $A(x)$ en un produit de facteurs du premier degré.
\item Simplifier la fraction
\[F(x) = \dfrac{(2x - 3)(3x + 5) - (2x - 1)(2x - 3)- 6x + 9}{9 - x^2}.\]

\item Pour quelle valeur de $x$ la fraction simplifiée est-elle égale à 1 ?
\item Représenter graphiquement les fonctions 
\begin{center}$y_1 = 2x - 3$\qquad  et \qquad $y_2 = 3 - x$.\end{center}

Comment peut-on retrouver, au moyen du graphique, la valeur de $x$ telle que 

$F(x)  = 1$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un triangle ABC rectangle en A, dans lequel 
\begin{center}$\widehat{\text{E}} = 60\degres$\qquad et \qquad BC $= 2a$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit H la projection orthogonale de A sur (BC).

Calculer AC, AB, AH, BH et CH en fonction de $a$.
\item On trace la bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{B}}$ du triangle ABC ; elle coupe (AC) en D.

Démontrer que les triangles ABD et ABC sont semblables et évaluer leur rapport de similitude.
\item Établir la relation 
\begin{center}AB$^2 = $AD  $\times$  AC.\end{center}
\item Montrer que le cercle circonscrit au triangle BDC est tangent en B à (AB).
\item Calculer le rayon de ce cercle en fonction de $a$. 
\end{enumerate}
\end{document}