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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Paris juin 1971~\decofourright}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}


\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\bigskip

On donne le polynôme suivant, fonction du nombre réel $x$ :

\[A(x) = \left(x^2 - 49\right)(2x +5) - (4x +28)(x - 7).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $A(x)$ sous la forme d'un produit de trois facteurs du premier degré.
\item On considère la fraction:

\[F(x) = \dfrac{- 2A(x)}{(x + 7)\left(x^2 - 14x + 49\right)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est son domaine de définition ?
		\item La variable appartenant à ce domaine, simplifier $F(x)$.
		\item Trouver la valeur de $F(x)$ pour $x = 9$ et la valeur de $x$ pour laquelle $F(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Le plan étant rapporté à un repère orthonormé $\left(x'\text{O}x, y'\text{O}y\right)$ dans lequel les vecteurs unitaires ont pour longueur un centimètre, tracer la droite $D$ d'équation 

$y = 2x + 1$ et la droite $D'$ d'équation $y = -\dfrac{x}{2} + \dfrac{7}{2}$.
\item $D$ coupe $x'\text{O}x$ en A, $y'\text{O}y$ en H ; $D'$ coupe $x'\text{O}x$ en B, $y'\text{O}y$ en C.

Après avoir calculé les coordonnées des points A, B, C, H, montrer que ces points satisfont à la relation : 
\begin{center}$\text{OA} \cdot\text{OB} = - \text{OC} \cdot \text{OH.}$\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

On porte un segment [AB] de longueur 5, de milieu O.

Sur le cercle (O) de diamètre [AB], on place un point C tel que [AC]
ait pour longueur 4, et sa projection orthogonale H sur [AB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs BC, CH, AH, BH.
\item La médiatrice de [AB] coupe le cercle (O) en D et E
(D et C sont situés de part et d'autre de AB).

Quels rôles  jouent les droites (CD) et (CE) pour l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ ?

On désignera par M le point commun à (CD) et (AB).
\item On porte sur la demi-droite AC, à l'extérieur du cercle,
le segment [CR] de longueur 3.

Comparer les directions de (RB) et (CD).

En déduire les longueurs des segments [MA] et [MB] (on calculera d'abord le rapport $\dfrac{\text{MA}}{\text{MB}}$).
\item La droite (RB) coupe le cercle (O) en B et P.

Calculer RB, puis RP et BP.
\end{enumerate}
\end{document}