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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Orléans-Tours}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Un élève dessine des triangles et des rectangles sur une feuille de papier de façon qu'ils n'aient aucun sommet commun.

Il trace ainsi 30 figures et il compte 110 sommets.

Calculer le nombre de triangles et le nombre de rectangles dessinés.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$, définies par

\begin{center} $f(x) = -2x + 5$\quad  et \quad $g(x) = 4x - 3$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(2),\: f\left(\dfrac12\right)$,\: $g(8)$ et $g\left( - \dfrac13\right)$.
\item Résoudre dans $\R$ :
	\begin{enumerate}
		\item l'équation $f(x ) = g(x)$ ; 
		\item l'inéquation $f(x) \leqslant g(x)$.
	\end{enumerate}
\item Tracer les représentations graphiques des applications $f$ et $g$ dans un plan muni d'un repère orthonormé.

Expliquer comment on peut utiliser ce graphique pour vérifier les réponses données à la question 2.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan, on considère un triangle (A, B, C).

On désigne par A$'$ le milieu du segment [B, C] et par B$'$ le milieu du segment [A, C].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner une figure et construire les points:

\begin{itemize}
\item F{}, symétrique de B par rapport à B$'$;
\item G, symétrique de A par rapport à A$'$.
\end{itemize}
\item Prouver que les quadrilatères (A, F, C, B) et
(A, C, G, B) sont des parallélogrammes.

En déduire que C est le milieu du segment [F{}, G].

\item On se propose de construire une deuxième figure en tenant compte, en plus, des conditions suivantes : l'unité de longueur étant le centimètre,

$d$(A, B) $= 3$, $d$(A, F) $= 5$ et $d$(A, A$') = 2,5$.

	\begin{enumerate}
		\item Évaluer $d$(A, G) et justifier l'affirmation: \og la
droite (AC) est la médiatrice du segment [F{}, G] \fg.
		\item Démontrer que le triangle (B, A, C) est rectangle
en A. 

Calculer $d$(A, C).
		\item Tracer cette seconde figure.
		
L'unité d'angle étant le degré, on désigne par $\alpha$ la
mesure de l'angle $\widehat{\text{CAA}'}$.

Évaluer $\tan \alpha$ et, en utilisant une table de rapports
trigonométriques, encadrer $\alpha$ par deux entiers consécutifs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} - $d$(A, B) désigne la distance des points A et B.
\end{document}