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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 1995}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small septembre 1994}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Paris juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $A =(x + 1)2 - 2 (x + J)( 3x - 4)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $A$.
\item Factoriser $A$.
\item Calculer $A$ pour $x = \dfrac95$, puis pour $x = \sqrt 3$.
\item Résoudre l'équation : $(x + 1) (- 5x + 9) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $B = \left(2\sqrt 5 -3\right)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $B$ sous la forme $a + b \sqrt 5$, où $a$ et $b$ sont des entiers
relatifs.
\item Donner la valeur décimale approchée au centième près par
excès de $B$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Les questions qui suivent sont indépendantes.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-4.2,-4.2)(4.2,4.2)
%\psgrid
\pscircle(0,0){4}
\psline(4;0)
\psline(4;45.2)
\psline(4;-28.8)
\psline(4;-105.4)
\psline(4;-234.8)
\rput(2.5,1){$0 \leqslant n < 4$}\rput(2.5,0.4){\textbf{12\,\%}}
\rput(1,-2.4){$12 \leqslant n < 16$}
\rput(-2.2,-0.2){$8 \leqslant n < 12$}
\rput(0.2,2.2){$4 \leqslant n < 8$}
\rput(2.4,-0.4){$16 \leqslant n < 20$}\rput(2.6,-1){\textbf{8\,\%}}
\uput[dr](-0.1,0){O}\uput[dl](4;-105.4){A}\uput[dr](4;-28.8){B}
\end{pspicture}
\end{center}

Le diagramme circulaire ci-dessus représente la répartition des notes de 250 élèves d'un collège lors d'un contrôle commun. Les notes sont toutes comprises entre 0 et 20.
On désigne une note quelconque par $n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que 90 élèves ont une note telle que:
$8 \leqslant n < 12$, calculer le pourcentage correspondant.
\item Sachant que, sur le diagramme, l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ vaut $86,4\degres$, calculer le nombre d'élèves dont la note vérifie:
$12 \leqslant n < 16$.
\item Sachant que 20\,\% des élèves ont une note qui vérifie:
$4 \leqslant n < 8$, calculer l'angle correspondant sur le diagramme.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On laissera apparents tous les traits de construction, mais aucune explication n'est demandée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangLe équilatéral AOB, dont les côtés mesurent $5$~cm.
\item Construire le point K, symétrique du point B par rapport au point O.
\item Construire le point S symétrique du point B par rapport à la droite (OA).
\item Construire le point T tel que $\vect{\text{AT}} = \vect{\text{AO}} + \vect{\text{AB}}$.
\item Construire le point E tel que $\vect{\text{AE}} =\vect{\text{AO}} + \vect{\text{AO}}$.
\item Tracer le polygone BASKET. 

Il s'agit d'une figure connue. Laquelle ? (on ne demande pas de justification).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

On ne demande pas de refaire la figure ci-après.

On donne : $\widehat{\text{BAC}} = \widehat{\text{BDE}} = 90\degres$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,5.5)
%\psgrid
\psline(0.7,2.2)(6.3,2.2)%AD
\psline(5.3,0.4)(5.3,2.2)%DE
\psline(5.3,0.4)(0.7,5.3)(0.7,2.2)%ECA
\psline(2.1,2.3)(2.1,2.1)
\uput[d](0.7,2.2){A} \uput[dl](3.6,2.2){B} \uput[ul](0.7,5.3){C} \uput[ul](5.3,2.2){D} \uput[d](5.3,0.4){E}\uput[d](2.1,2.2){I}
\psframe(0.7,2.2)(0.9,2.4)\psframe(5.3,2.2)(5.1,2)
\psline(2.15,3.9)(1.9,3.7)\uput[ur](2.1,3.83){J}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que (AC) et (DE) sont parallèles.
		\item On donne AB $= 5$, \, AD $= 9$, \, BC $=7,5$.
		
Calculer BD, puis BE.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer AC.
		\item Calculer $\cos \widehat{\text{ABC}}$.
	\end{enumerate}
\item  On donne AI $= 3$ et BJ $= 3$.

Les droites (IJ) et (AC) sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude graphique} (On utilisera une feuille de papier millimétré)

Le pLan est rapporté à un repère orthogonal (O, I, J).

Les unités graphiques sont : 

1 cm pour 1 unité, sur l'axe des abscisses;

1 cm pour 3 unités sur L'axe des ordonnées.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Représenter les droites :

$d_1$, d'équation : $y = 27$,

$d_2$ d'équation : $y =3x$,

$d_3$ d'équation: $y = 30 - 3x$.
		\item On appelle:

A le point d'intersection de $d_2$ et $d_3$,

B le point d'intersection de $d_1$ et $d_3$,

C le point d'intersection  de $d_1$ et $d_2$.

Déterminer graphiquement, puis par le calcul, les coordonnées
de A, B et C.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude de volumes}

Dans cette partie, les mesures de longueurs sont données en centimètres.

	\begin{enumerate}
		\item On considère trois objets en bois:

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
Un cube: son arête mesure 3 cm. 

Rappeler la nature de ses faces.

Calculer son volume $V_1$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(2.4,2.2)
\psframe(0.3,0.3)(1.5,1.5)
\psline(1.5,0.3)(1.9,0.6)(1.9,1.8)(1.5,1.5)
\psline(1.9,1.8)(0.7,1.8)(0.3,1.5)
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(0.7,0.6)(1.9,0.6)
\psline[linestyle=dashed](0.7,0.6)(0.7,1.5)
\uput[d](0.3,0.3){A}\uput[d](1.5,0.3){B}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
Un parallélépipède rectangle :
ses dimensions sont données par : CD $= 1$,  DE $= 3$, CF $= x$ ($x$ est un nombre positif). 

Calculer son volume $V_2$ en fonction de $x$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(2.4,3.2)
\psframe(0.3,0.3)(1.2,2.5)
\psline(1.2,0.3)(1.5,0.9)(1.5,3.1)(1.2,2.5)
\psline(1.5,3.1)(0.6,3.1)(0.3,2.5)
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(0.6,0.9)(1.5,0.9)
\psline[linestyle=dashed](0.6,0.9)(0.6,3.1)
\uput[d](0.3,0.3){C} \uput[d](1.2,0.3){D} \uput[r](1.5,0.9){E} \uput[l](0.3,2.5){F} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
Une pyramide SMNPQ :

sa base est un carré de centre O, dont le côté
mesure $3$~cm, sa hauteur [OS] a pour longueur $h$.

Calculer son volume $V_3$ en fonction de $h$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(2.4,2.2)
\psline(0.3,0.3)(1.5,0.3)(1.8,0.7)(0.85,1.8)(1.5,0.3)%MNPSN
\psline(0.85,1.8)(0.3,0.3)%SM
\psline[linestyle=dashed](1.5,0.3)(0.6,0.7)(0.85,1.8)%NQS
\pspolygon[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.8,0.7)(0.6,0.7)%MPQ
\uput[d](0.3,0.3){\small M}\uput[d](1.5,0.3){\small N}\uput[dr](1.8,0.7){\small P}
\uput[u](0.85,1.8){\small S}\uput[ul](0.6,0.7){\small Q}\uput[d](1.05,0.5){\small O}
\end{pspicture}
\end{minipage}
		\item 
	\end{enumerate}		
On empile Les trois objets précédents.
		
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
La hauteur totale de l'objet obtenu est égale à $13$~cm.

Calculer $h$ en fonction de $x$, puis $V_3$ en fonction de $x$.

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\begin{pspicture}(-1,0)(2.4,5.1)
%\psgrid
\psframe(0.3,0.3)(1.5,1.5)
\psline(1.5,0.3)(1.9,0.6)(1.9,1.8)(1.5,1.5)
\psline(1.9,1.8)(1.4,1.8)
\psline(0.7,1.8)(0.3,1.5)
\uput[d](0.3,0.3){A}\uput[d](1.5,0.3){B}
\psframe(0.7,1.5)(1.1,3.4)
\psline(1.1,1.5)(1.4,1.8)(1.4,3.4)
\uput[d](0.7,1.5){C} \uput[d](1.1,1.5){D} 
\uput[dl](0.7,3.4){F}\uput[dr](1.1,3.4){\small N}
\psline(0.3,3.4)(1.5,3.4)(1.8,3.8)(0.85,4.9)(1.5,3.4)%MNPSN
\psline(0.85,4.9)(0.3,3.4)%SM
\uput[ul](0.3,3.4){\small M}
\uput[r](1.8,3.8){\small P}
\uput[u](0.85,4.9){\small S}
\end{pspicture}
\end{minipage}


\item Comparaison des volumes $V_1$, \,  $V_2$, \, $V_3$ en utilisant l'étude graphique de la partie A.


Il est rappeLé que tous les résultats doivent être justifiés, en faisant apparaître sur Le graphique ce qui vous permet de donner vos résultats.
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $V_2 = V_3$ ?
		\item Que représentent les coordonnées du point C pour des objets
de la partie B ?
		\item Lorsque $x =7$, et sans faire aucun calcul, ranger par ordre
croissant Les volumes $V_1,\, V_2$ et $V_3$.
		\item Pour quelles vaLeurs de $x$ a-t-on  $V_2 \leqslant V_3 \leqslant  V_1$.
		\item Est-il possible que les trois objets de la question a. aient le
même volume ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}