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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris septembre 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier l'expression
\[y = \dfrac{3x^2 - 6x + 3}{5x - 4}.\]

Pour quelles valeurs entières de $x$, \:$y $est-il entier?

La simplification précédente vous permet-elle de résoudre l'équation
\[3x^2 - 6x + 3 = 5x - 4 \:?\]

\item Soient $x'$O$x$ et $y'$O$y$ deux axes de coordonnées rectangulaires.

Construire la droite $(D)$ représentant les variations de la fonction
\[y = \dfrac34 (x - 1).\]

\item La droite $(D)$ coupe O$x$ en A, O$y$ en B ; calculer la longueur du segment [AB] ainsi que la distance de l'origine O à la droite $(D)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un segment [AB] tel que AB $= 8$~cm, de milieu O, et
l'on élève, d'un même côté de (AB), les demi-droites A$x$ et
B$y$ perpendiculaires à (AB); puis, marquant un point C quelconque sur A$x$, on marque sur B$y$ le point D tel que l'on ait 
\begin{center}AC $\times$ BD $= \overline{\text{OA}}^2$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles ACO et BOD sont semblables.
\item Démontrer que le triangle OCD est semblable aux précédents.
\item On choisit désormais le point C tel que AC = AB.

Calculer les longueurs des côtés du trapèze ACDB, ainsi que son aire. 
\item Toujours avec l'hypothèse AC = AB, on trace les diagonales du trapèze qui se coupent en I et l'on mène par I la parallèle aux bases du trapèze coupant [AB] en E et (CD) en F.

Démontrer que 
\begin{center}$\dfrac{\text{AI}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{CI}}{\text{CB}} = \dfrac45$\quad  et que\quad  IE $=$ IF.\end{center}


\end{enumerate}
\end{document}