\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Paris septembre 1955},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{septembre 1955}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Paris septembre 1955}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme de produits de facteurs, les expressions

\[Y_1 = (5 - 3x)(x - 4) - (5 - 3x)(2x - 3),\qquad  Y_2 = 9x^2 - 25.\]

\item Calculer le quotient de $Y_1$ par $Y_2$.

Pour quelles valeurs de $x$ ce quotient ne peut-il être calculé ?
\item Construire les droites représentatives des fonctions $y_1 = x + 1$ et $y_2 = 3x + 5$.

Calculer les coordonnées du point d'intersection, P{}, de ces deux droites.

Quelle est pour la valeur de $x$ ainsi calculée la valeur du quotient $\dfrac{y_1}{y_2}$ ?
\item Former l'équation de la droite $y_3$ passant par A$\left(-1~;~\dfrac53 \right)$ et par B(4~;~0).

Préciser, en la justifiant, la position relative des droites $y_2$ et $y_3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Dans une cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon $R$, on mène deux diamètres perpendiculaires, [AB] et [CD].

Par un point M quelconque de l'arc $\widearc{\text{AD}}$, on mène une tangente qui coupe les prolongements de [CD] en E et de [BA] en F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'angle $\widehat{\text{MEO}}$ est double de l'angle $\widehat{\text{MBO}}$.
\item Quelle position particulière faut-il donner au point M pour que l'angle $\widehat{\text{EFO}}$ mesure $30\degres$ ?
\item Dans ce cas particulier, calculer, en fonction de $R$, les longueurs OF, MF, EF, ME, OE, MB ainsi que l'aire des triangles EOF et FMB.
\end{enumerate}
\end{document}