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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris septembre 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La distance de Paris à Lyon est de $512$ km.

Un train parti de Paris à $8$~h~50 min arrive à Lyon à $17$~h~22~min.

Le lendemain il repart de Lyon à $6$~h 30~min pour revenir à Paris ; il effectue son parcours avec la même vitesse que la veille.

À quelle heure arrive-t-il il Paris ?

Quelle a été sa vitesse horaire ?
\item Chercher en quel point du parcours le train passe à la même heure que la veille. 

Il y aura lieu de calculer la distance de ce point à Paris et d'indiquer l'heure à laquelle le train passe en ce point.
\item Donner une solution graphique de la question précédente.

À défaut de solution, vérifier graphiquement le résultat obtenu.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

On considère un triangle ABC rectangle en A.

Soit [AH] la hauteur issue du sommet A.

On abaisse de H la perpendiculaire (HJ) sur (AB) et on la prolonge d'une longueur JD égale à HJ.

De même on abaisse la perpendiculaire (BK) sur (AC) et on la prolonge d'une longueur KE égale à HK.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les trois points D, A, E sont alignés.
\item Montrer que le quadrilatère OBCE est un trapèze rectangle et que le cercle de diamètre [DE] est tangent en H à (BC).
\item On désigne par $b$ et $c$ respectivement les longueurs des côtés [AC] et [AB].

Calculer les longueurs du côté [BC], de la hauteur [AH] du triangle, de la hauteur [DE] du trapèze, et l'aire du trapèze DBCE.
\end{enumerate}
\end{document}