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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{septembre 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{ \textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Paris septembre 1960}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}



\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire le produit
\[(x - 1) (3x - 7)\]
sous forme de polynôme ordonné par rapport aux puissances décroissantes de $x$.
\item Décomposer l'expression
\[(x - 2)^2 - (2x - 5)^2\]
en un produit de deux facteurs du premier degré.

\item Simplifier la fraction 
\[\dfrac{3x^2 - 10x + 7}{(x - 2)^2 - (2x - 5)^2}.\]
\item Pour quelle valeur de $x$ la fraction simplifiée est-elle égale à 1 ?
\item Construire sur un même graphique les deux droites représentant les variations des fonctions
\begin{center}$y = x - 1$ \qquad et \qquad $y = - x + 3$.\end{center}

Calculer les coordonnées de leur point d'intersection.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

Dans un cercle de centre O, de rayon $R$, on trace un diamètre [AB] et une corde [AC] telle que AC $= \dfrac{3R}{2}$.

On trace [CB] et la perpendiculaire (CH) à (AB), H appartenant à [AB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $R$, les longueurs des segments [CB], [CH] et [AH].
\item On trace le cercle de centre B, de rayon BA.

La droite (BC) coupe le cercle en D et E.

Que représente [AC) pour le triangle DAE ?

Montrer que $\text{AC}^2 = \text{CD} \cdot \text{CE}$.
\item Une droite quelconque passant par C coupe le cercle de centre B en I et K.

Montrer que 
\[\text{AC}^2 = \text{CI} \cdot \text{CK}.\]

\item On trace (CL) perpendiculaire à (AE).

Montrer que AH $\cdot$ AB = AL $\cdot$ AE = CD $\cdot$ CE = CI $\cdot$ CK.


\end{enumerate}

\smallskip

{\small \textbf{N. B.} - On peut traiter les questions 2., 3. et 4. avant la question 1.}
\end{document}