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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris septembre 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit l'expression algébrique 
\[\dfrac{A(x)}{B(x)} = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}.\]

\begin{enumerate}
\item Est-elle calculable quelle que soit la valeur donnée à $x$ ?
\item La simplifier.

La fraction obtenue, $\dfrac{A'(x)}{B'(x)}$, est-elle égale à la fraction donnée ?
\item Calculer la valeur numérique, à $0,001$~près par défaut, de $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ quand on donne à $x$ la valeur $\sqrt 5$.
\item Pour quelle valeur de $x$ la fraction $\dfrac{A'(x)}{B'(x)}$ est-elle nulle ?
\item Représenter graphiquement les fonctions $y = A'(x),\: y = B'(x)$.

Que pouvez-vous dire de ces deux représentations graphiques ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un demi-cercle, de diamètre [AB], de centre O, de rayon $R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un point H du segment [AB] est tel que 
\[\dfrac{\text{HA}}{\text{HB}} = \dfrac23.\]

Calculer HA et HB en fonction de $R$.
\item H est la projection sur (AB) d'un point M du demi-cercle ; la tangente en M au demi-cercle coupe en A$'$ et B$'$ les tangentes en A et en B.

Montrer que le triangle A$'$OB$'$ est rectangle.

En déduire que 
\begin{center}AA$' \times$ BB$' = R^2$.\end{center}
\item On pose AA$'= x$ et BB$' = y$.

Calculer le rapport $\dfrac xy$, puis $x$ et $y$.
\end{enumerate}
\end{document}