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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Paris septembre 1971~\decofourright}\\[7pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

Un triangle ABC rectangle en A est donné par les longueurs des côtés [AB],\: tel que AB $= 5$ et de l'hypoténuse [BC], \: tel que   BC $= 13$.

Vérifier que le troisième côté est lui aussi mesuré par un nombre entier.

Donner sa longueur.

On place sur le segment [AB] un point M, dont la position définie par la longueur $x$ du segment AM ($x$ est un nombre réel).

La parallèle à (BC) passant par M  coupe (AC) en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir la similitude des triangles AMN et ABC.

En déduire les longueurs des segments [AN] et [MN], puis les expressions, en fonction de $x$, des quantités $y$ périmètre du triangle AMN et $z$ périmètre du trapèze MNCB. (On trouvera $ y = 6x$ et $z = - \dfrac{4x}{5} + 30$).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $y$ et $z$ lorsque $x = 2,5$.
		\item Pour quelle valeur de $x$ les périmètres $y$ et $z$ sont-ils égaux ?
		\item Le périmètre du triangle peut-il être double de celui du trapèze $y$ ? ($y = 2z$)
	\end{enumerate}
\item Trouver l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles le périmètre du triangle est supérieur à celui du trapèze.
\end{enumerate}

\textbf{N. B. -} En utilisant les réponses données au \textbf{1.}, les trois questions sont indépendantes.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\medskip

On considère le triangle ABC rectangle en A tel que
AB $= 5$~cm, BC $= 13$~cm, AC $= 12$~cm.
 
On place sur le côté [AB] un point M tel que AM $= 2$~cm.

La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en N.

On trace le cercle BMC qui coupe (AC) en C et P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer la construction du cercle.
\item Calculer les longueurs des segments [AN] et [AP] (pour ce dernier, on considérera la puissance de A par rapport au cercle tracé).
\item Montrer que les longueurs des divers segments vérifient
la relation

\[\text{AN} \cdot \text{AP} = \text{AM}^2.\]

En déduire la situation de la droite (AB), par rapport au
cercle circonscrit au triangle MNP.
\item Comparer les triangles AMP et ANM.

En déduire la longueur du segment [MP].
\end{enumerate}
\end{document}