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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris septembre 1972~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les fonctions rationnelles A(x), B(x) et C(x) de
la variable réelle $x$ suivantes :

\[A(x) = \dfrac{x^2}{x^3 + 3x^2}, \quad  B(x) =\dfrac{6 - 2x}{x^2 - 6x + 9}, \quad C(x)=
\dfrac{60x}{5x^3 - 45x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Préciser le domaine de définition de chacune de ces fonctions.

Dans la suite du problème la variable $x$ appartiendra à la fois à ces trois domaines.

Écrire alors les expressions précédentes sous une forme simplifiée.
\item Calculer la fonction $E$ définie par 
\[E(x) = A(x) - B(x) - C(x).\]

Le résultat sera donné sous la forme la plus simple possible.
\item Calculer la valeur, $E\left(\sqrt 3\right)$, prise par l'expression
précédente pour $x = \sqrt 3$.

On donnera la valeur exacte et la valeur approchée par défaut à un centième près.

On rappelle que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$.
\item Dans les conditions précisées plus haut,
	\begin{enumerate}
		\item existe-t-il une valeur de $x$ telle que $E(x) = 1$ ;
		\item existe-t-il une valeur de $x$ telle que $E(x) = \dfrac34$ ?
\end{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé (unité de longueur: le centimètre), représenter graphiquement les fonctions $y_1$ et $y_2$ définies par
\begin{center}$y_1 = 3$\qquad  et \qquad $y_2 = x + 3$.\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 72$~mm, on trace une corde [AC] telle que AC $= 54$~mm.

La droite (AC) coupe en P la tangente au cercle au point B.

On désigne par D le pied de la hauteur issue de C du triangle (ACB).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des segments [AD] et [DB].
\item Dans le triangle (ABC), justifier la relation 
\[\text{BC}^2 = \text{BD} \cdot \text{BA}.\]

Dans le triangle (ABP), justifier la relation 
\[\text{BC}^2 = \text{CP} \cdot \text{CA}.\]

En déduire la longueur du segment [CP].
\item Calculer la puissance du point P par rapport au cercle.
\item La perpendiculaire à (AC) en P coupe en M la droite (AB).

Calculer la longueur du segment [CP].
\item Soit $x$ la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{CAB}}$.

Trouver la valeur exacte de $\cos x$, puis la valeur approchée par défaut de $x$, à un degré près.
\end{enumerate}
\end{document}