\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet}, pdftitle = { Paris--Créteil--Versailles septembre 1995}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{} \lhead{\small L'année 1995} \rfoot{\small Paris--Créteil--Versailles} \lfoot{\small septembre 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Paris--Créteil--Versailles \decofourright\\[7pt] septembre 1995}} \end{center} \bigskip \textbf{PARTIE NUMÉRIQUE} \medskip \emph{Les cinq exercices sont indépendants} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Écrire sous la forme $a \sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des entiers, le nombre : \[ A = 6\sqrt{12} - \sqrt{75}.\] \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Écrire sous la forme $m + n\sqrt p$, où $m$, $n$, $p$ sont des entiers, le nombre : \[ B = \left(2\sqrt 3 - 3\sqrt 2\right)^2.\] \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip Effectuer,et écrire sous forme d'une fraction irréductible: \[C = \dfrac37 - \dfrac27 \times \dfrac54.\] \medskip \textbf{Exercice 4} \medskip Soit $D = (3x + 1)^2 - 4$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer, réduire et ordonner $D$. \item Factoriser $D$. \item Résoudre l'équation $(3x + 3)(3x - 1) = 0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 5} \medskip Deux amis possèdent ensemble 70 francs. Si le premier avait le double de ce qu'il a actuellement, et le second le triple, ils possèderaient ensemble 180 francs. Combien possèdent-ils chacun ? \newpage \textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE} \medskip \emph{Les deux exercices qui suivent sont indépendants.} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{minipage}{0.7\linewidth} Un sablier conique est représenté ci-contre. Si la hauteur initiale $h$ du sable est égale à 2~cm, celui-ci met 3~minutes pour s'écouler dans la partie inférieure. La durée d'écoulement est supposée proportionnelle au volume écoulé. La hauteur initiale du sable est maintenant égale à 4~cm. Julie dit : \og Il va mettre 6 minutes pour s'écouler. \fg Émilie lui répond : \og Je pense qu'il va mettre $24$ minutes pour s'écouler.\fg Qui a raison ? On justifiera la réponse avec précision. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.28\linewidth} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1.5,-2.8)(1.5,2.8) %\psgrid \psline(-1.19,1.9)(1.19,-1.9) \psline(-1.19,-1.9)(1.19,1.9) \psellipse(0,2)(1.25,0.5) \psellipticarc(0,-2)(1.25,0.5){180}{360} \psellipticarc[linestyle=dashed](0,-2)(1.25,0.5){0}{180} \psellipticarc(0,0.5)(0.35,0.15){180}{360} \psellipticarc[linestyle=dashed](0,0.5)(0.35,0.15){0}{180} \uput[l](0,0){S} \psline[linewidth=0.4pt](0,0)(1.5,0) \psline[linewidth=0.4pt](0.35,0.5)(1.5,0.5) \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(1.4,0.5)(1.4,0)\uput[r](1.4,0.25){$b$} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{minipage}{0.6\linewidth} Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Le point I est le milieu du segment [AB], et le point M est l'intersection des segments [BD]et [IC]. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant une configuration de Thalès, montrer que : $\dfrac{\text{MI}}{\text{MC}} = \dfrac12$. \item Soit N le symétrique de B par rapport à M. Démontrer que les droites (IM)et (AN)sont parallèles. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.34\linewidth} \psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture}(4,2.5) \pspolygon(0.8,0.2)(3.8,0.2)(3.2,2.2)(0.2,2.2)%DCBA \psline(0.8,0.2)(3.2,2.2)%DB \psline(3.8,0.2)(1.7,2.2)%IC \uput[l](0.2,2.2){A} \uput[r](3.2,2.2){B} \uput[r](3.8,0.2){C} \uput[l](0.8,0.2){D} \uput[u](1.7,2.2){I} \uput[d](2.4,1.5){M} \end{pspicture} \end{minipage} \bigskip \textbf{PROBLÈME} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre. On donne les points: A$(-2~;~6)$, B(6~;~8), C(6~;~0). Le point M est le milieu du segment [OC]. \medskip \begin{enumerate} \item Faire une figure. \item \begin{enumerate} \item Montrer qu'une équation de la droite (OB) est $y = - x$. \item Écrire une équation de la droite parallèle à (OB)passant par M. Montrer qu'elle passe par le milieu P du segment [BC]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire une équation de la droite $\Delta$ perpendiculaire à (OB)passant par M. \item Écrire une équation de la droite (OA). Puis, calculer les coordonnées du point N, intersection des droites (OA) et $\Delta$. \item Préciser la position du point N sur le segment [OA]. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}