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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1960}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small février 1960}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers février 1960~\decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les trois fonctions suivantes de la variable $x$ :
\[y_1 = 2x + 2,\qquad y_2 = 3x + 3, \qquad y_3 = - x - 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de chacune de ces trois fonctions et dessiner avec soin les trois droites $D_1$, \: $D_2$ et $D_3$  représentatives de ces fonctions dans un même
système d'axes de coordonnées rectangulaires $x'\text{O}x, y'\text{O}y$ (unité de longueur arbitraire, mais choisir la même unité sur les deux axes : bien préciser cette unité sur le graphique).

Montrer que ces trois droites sont concourantes en un point d'abscisse $- 1$.
\item Montrer que les trois fonctions étudiées sont de la forme $y = a (x + 1)$. Préciser la valeur numérique de $a$ correspondant à chacune des fonctions.
\item Montrer qu'à chaque valeur de $x$ on a toujours

\begin{center}$3y_1 = 2y_2$ \qquad et \qquad $y_1 + 2y_2 = 0$.\end{center}
En déduire les valeurs des rapports $\dfrac{y_1}{y_2}$ et $\dfrac{y_1}{y_3}$.
\item Un axe parallèle à l'axe $y'\text{O}y$ et de mème sens coupe $x'\text{O}x$ en un point H et les droites $D_1$, \: $D_2$ et $D_3$, respectivement aux points A$_1$, \: A$_2$,\: A$_3$.

Évaluer, en fonction de OH $= x$, les mesures algébriques de HA$_1$,\: HA$_2$,\: HA$_3$.

Préciser la position du point A$_1$ sur le segment [HA$_2$] et la position du point H sur le segment [A$_1$A$_2$].

Comparer les trois longueurs A$_3$H,\: HA$_1$ et  A$_1$A$_2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit un segment [AB] de longueur égale à 8 cm.

Construire les points C et D qui divisent ce segment dans
le rapport $\dfrac53$.

Calculer la longueur des segments [CA], [CB]], [DA] et [DB].
\item Soit O le milieu de [CD]. Vérifier que 
\[\overline{\text{AC}} \cdot \overline{\text{AD}} = \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AO}}.\]

\item On considère le cercle de diamètre [CD].

Soit M un point du cercle tel que AM $= 8$~cm; (AM) recoupe le cercle en P{}.

Montrer que AM $\cdot$ AP = AC $\cdot$ AD ; calculer AP{}.
\item Montrer que (MB) et (PO) sont parallèles.

On mène par M la parallèle à (AD), qui coupe en I le segment [PD].

Montrer que $\dfrac{\text{OB}}{\text{OA}} = \dfrac{\text{MI}}{\text{AD}}$

Calculer MI.
\end{enumerate}
\end{document}