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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1960}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small février 1960 (remplacement)}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers février 1960 ~\decofourright\\[7pt](remplacement)}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel nombre faut-il ajouter au polynôme $9x^2  + \dfrac32 x$ pour qu'il soit le carré d'un binôme ?
\item Mettre sous forme de produits les expressions

\begin{center}$4(3x - 1)^2- 9(x + 3)^2$\quad et \quad
$(1 - 2x)(x - 3) - (2x - 1)^2$.\end{center}

\item De la proportion $\dfrac ab = \dfrac cd$, déduire $\dfrac ac = \dfrac bd = \dfrac{2a + 3b}{2c+3d}$.
\item Simplifier la somme algébrique
\[2\sqrt 8 - 3\sqrt{18} + 4 \sqrt{32} - 5\sqrt{50} + 6\sqrt{72}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un triangle ABC, AB $= 7$ cm, AC $= 3$ cm, BC $= 8$ cm.

Les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ coupent la droite (BC) respectivement en D et E.

La parallèle menée par C à (AB) rencontre (AD) en H et (AE) en K.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que C est le milieu de [HK] et que HK $= 6$~cm.
\item Comparer les triangles DCH et DBA d'une part et les triangles ECK et EBA d'autre part.

En déduire que les points D et E divisent le segment [BC] dans un même rapport arithmétique et calculer les mesures des segments [DB], [DC], [EB] et  [EC].
\item La médiatrice de [DE] coupe (AD) en M et (AE) en P{}.

Calculer le produit $\overline{\text{IP}} \cdot  \overline{\text{IM}}$, I désignant le milieu de [DE].
\item Établir la relation $2\overline{\text{DI}}^2 = \overline{\text{DA}} \cdot \overline{\text{DM}}$ et en déduire la valeur du produit $\overline{\text{DA}} \cdot \overline{\text{DM}}.$

\end{enumerate}
\end{document}