\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Poitiers juin 1955},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Poitiers}}
\rfoot{\small{juin 1955}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item $a$ et $b$ étant des nombres quelconques, résoudre le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac x2 + y &=& a\\
x - 2y &=& b.
\end{array}\right.\]

\item Quelle relation doit-il exister entre $a$ et $b$ pour que les valeurs de la solution du système donné soient égales ?
\item Résoudre graphiquement et algébriquement Je système pour
\[a = 1,\qquad b = -\dfrac23.\]

Si M est Je point commun des deux droites du graphique, quelle est l'équation de la droite (OM) ? (O étant l'origine des coordonnées.)

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Dans un cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon $R$, on trace un diamètre $[xy]$ et une corde [AB] perpendiculaire au milieu du rayon [$x$O] porté par [$xy$].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que cette corde est a une longueur égale à celle du côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle.
\item On trace sur [AB] comme diamètre un demi-cercle, qui coupe $xy$ au point M, et l'on mène les cordes [AM] et [BM], qui, prolongées, rencontrent le cercle $\mathcal{C}$ respectivement en C et D, puis les cordes [AD], [BC] et [CD] dans ce dernier cercle.

Montrer que [AD] et [BC] sont les côtés de carrés inscrits dans le cercle et que [DC] est le côté de l'hexagone régulier inscrit.
\item Donner en degrés la mesure des angles du trapèze ABCD et calculer la longueur de l'une de ses diagonales.
\item \emph{Calcul numérique} : Si $R = 12$~cm, calculer à 1 mm$^2$ près l'aire du trapèze ABCD,
\end{enumerate}
\end{document}