\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Poitiers juin 1960},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Poitiers}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Poitiers juin 1960\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne les quatre polynômes suivants:
\[\begin{array}{l c l}
A &=& x^2 + xy - x,\\
B &=& x^2 - xy + x,\\
C &=& x^2 - y^2 + 2y - 1,\\
D &=& x^2 + 2 xy - 2x + y^2 - 2y + 1.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur de chacun de ces polynômes pour $y = 2a + 1$, $a$ étant un nombre algébrique donné différent de $-\dfrac12$.

Écrire les résultats sous forme de produits de facteurs du premier degré en $x$.
\item Calculer les quotients $q = \dfrac{A}{B}$ et $q' = \dfrac{C}{D}$ $\left.(\text{on trouvera }\:q = \dfrac{x +2a}{x - 2a}\right)$.

Quelle relation indépendante de $x$ existe-t-il entre $q$ et $q'$ ?

Comment nomme-t-on un couple de nombres tels que $q$ et $q'$ ?
\item Dans tout ce qui va suivre on supposera $a = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer dans ces conditions la valeur $x_1$ de $x$ pour que $q = 3$.
		\item Calculer la valeur $x_2$, de $x$ pour que $q = \dfrac13$.
		\item Quelle relation existe-t-il entre $x_1$ et $x_2$ ?
		
Comment nomme-t-on un couple de nombres tels que $x_1$ et $x_2$ ?
		\item Calculer de même les valeurs $x'$ et $x''$ de $x$ quand $q$ vaut $\sqrt 3$, puis  $\dfrac{1}{\sqrt 3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

On donne un segment [AB] tel que AB $= 2a$ de milieu O.

On construit les demi-droites A$x$ et B$y$ perpendiculaires
à la droite (AB) et d'un même côté.

On marque sur A$x$ un point C et, sur By, le point D tel que
\[\text{AC} \times \text{BD} = \text{OA}^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles ACO et OBD sont semblables.

En déduire que l'angle $\widehat{\text{COD}}$ est droit.
\item Démontrer que les triangles COD et CAO sont semblables.

En déduire que CO est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ACD}}$.
\item On suppose désormais que AC = AB.

Calculer les longueurs des côtés et des diagonales du trapèze ACDB.
\item Toujours avec l'hypothèse AC = AB, on trace les diagonales du trapèze, qui se coupent en I,
 et l'on mène par I la parallèle aux bases du trapèze coupant (AB) en E et (CD) en F{}.

Démontrer que I est équidistant des points E et F{}.
\end{enumerate}
\end{document}