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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Poitiers}}
\rfoot{\small{juin 1963}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier l'expression
\[y = \dfrac{\dfrac{x-a}{x+a} + 2 - \dfrac{x+a}{x- a}}{1 + \dfrac{x+a}{x- a}}.\]

\item On pose $x - a = A,\: x + a = B$.

Exprimer $y$ en fonction de $A$ et de $B$.

Simplifier la nouvelle expression.

Vérifier le résultat obtenu au 1.

Montrer que la fraction
\[\dfrac{\dfrac{x-a}{x+a} - \dfrac{x+a}{x-a}}{1 - \dfrac{x+a}{x-a}}\] 

se réduit à la même expression que $y$.
\item Calculer $x$ pour que l'on ait $y = a$.

Que se passe-t-il si $a = 2$ ? 

\emph{Application numérique }: Calculer $x$ pour $y = a = \sqrt 2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Deux cercles, de centres respectifs O et O$'$, se coupent en A et B de façon que les rayons OA et O$'$A soient perpendiculaires entre eux.

On donne OA $= 6$~cm et O$'$A $= 4,5$~cm.

Calculer la distance des centres, OO$'$.
\item Soit I le milieu de OO$'$. La perpendiculaire menée de A à la droite IA détermine, dans le cercle (O), la corde [AC] et, dans le cercle (O$'$), la corde [AD].

Démontrer que AC = AD. (On tracera (OM) perpendiculaire à (AC) et (O$'$N) perpendiculaire à (AD) ; M et N sont, respectivement, les pieds de ces perpendiculaire sur (AC) et (AD).)
\item On trace (AF) perpendiculaire à (OO$'$) et (O$'$K)  perpendiculaire à (OM) (F et K sont, respectivement, les pieds de ces perpendiculaires sur (OO$'$) et (OM)).

Démontrer que les triangles IAF et O$'$OK sont semblables.

Comparer la longueur AI à la longueur OO$'$.

Calculer les longueurs des segments [O$'$K] et [AC].
\end{enumerate}
\end{document}