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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small L'année 1994}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small juin 1994}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

On a compté le nombre de véhicules franchissant un péage d'autoroute pendant une heure. Les véhicules sont classés dans les catégories suivantes: voitures, autocars, camions, motos.
Voici les renseignements fournis:

\begin{itemize}
\item $112$ autocars ont franchi le péage ce qui représente 16\,\%de la totalité des véhicules;
\item on a compté $84$ motos et $168$ camions.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre total de véhicules ayant franchi le péage pendant l'heure.
\item On désire établir la représentation graphique des résultats par un diagramme semi-circulaire (\np{1800} représenteront alors $700$ véhicules).
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant. Les mesures en degré des angles seront arrondies à l'entier le plus proche.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Catégories			&Autocars	&Motos	&Camions&Voitures	&Total\\ \hline
Nombre de passages	&			&		&		&			&\\ \hline
Fréquence en \%		&			&		&		&			&\\ \hline
Mesure de l'angle	&			&		&		&			&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Représenter ces données par un diagramme semi-circulaire ayant $6$~cm  pour rayon.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

On pose $E = (4x - 3)^2 + 6x(4 - x) - \left(x^2 + 9\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $E$ est égal au carré de $3x$.
\item Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $E = 144$.
\item Calculer la valeur de $E$ pour $x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 2 points}

\medskip

Une unité de mesure étant choisie, trois points A, B et C du plan sont tels que:

AB $= 2\sqrt 3$, BC $= \sqrt{75}$ et AC $= \sqrt{147}$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $\text{AB} + \text{BC} = \text{AC}$.
\item Que peut-on en conclure pour ces trois points ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Dans cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre.

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB $= 12$ et AC $= 8$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item M est un point du segment {AB], distinct de A et B. On désigne par $x$ la longueur AM, avec $0 < x < 12$.

Par M on mène la parallèle à (AC) qui coupe [BC] en N.

Par N on mène la parallèle à (AB) qui coupe [AC] en R.

On obtient un rectangle AMNR (on l'admettra sans démonstration).
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer BM en fonction de $x$.
		\item Soit $y$ la longueur MN. Calculer $y$ en fonction de $x$ et montrer que $y$ peut s'écrire sous la forme :
		
$y = - \dfrac23 x + 8$. (On pourra utiliser le théorème de Thalès)
	\end{enumerate}
\item Calculer $x$ pour que AMNR soit un carré.
\item Calculer en fonction de $x$ le périmètre du rectangle AMNR, puis déterminer les valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $12$ pour lesquelles le périmètre du rectangle AMNR est supérieur à $20$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 3 points}

\medskip

ABC est un triangle isocèle tel que AB = AC. Le point H est le milieu de [BC] et D le symétrique de A par rapport à H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que ABDC est un losange.
\item Placer le point E tel que AE = BC.

Quelle est la nature du quadrilatère AECB ?
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{EC}}$ et $\vect{\text{CD}}$ sont égaux.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

ABCDEFGH est un cube.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle AFC est équilatéral. Le justifier.
\item On prendra $7$~cm pour longueur commune des côtés du triangle AFC.

Dessiner un patron de la pyramide BFCA (on laissera les traits de construction).
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.2,4.8)
\psframe(0.2,0.2)(3.1,3.1)%EFBA
\psline(3.1,0.2)(4.6,1.4)(4.6,4.3)(3.1,3.1)%FGCB
\psline(4.6,4.3)(1.7,4.3)(0.2,3.1)%CDA
\pspolygon(0.2,3.1)(3.1,0.2)(4.6,4.3)%AFC
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0.2,0.2)(1.7,1.4)(4.6,1.4)%EFG
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](1.7,1.4)(1.7,4.3)%HD
\uput[l](0.2,3.1){A} \uput[r](3.1,3.1){B} \uput[r](4.6,4.3){C} \uput[u](1.7,4.3){D}
\uput[dl](0.2,0.2){E} \uput[dr](3.1,0.2){F} \uput[dr](4.6,1.4){G} \uput[ur](1.7,1.4){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Problème \hfill 12 points}

\bigskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). On prendra sur chaque axe 4 cm pour unité graphique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le carré OABC tel que I soit le milieu de [OA] et J le milieu de [OC].
		\item Par lecture graphique, donner les coordonnées des points A, B, C, et K milieu de [AB].
	\end{enumerate}
\item Les droites (OK) et (CI) se coupent en L.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coefficients directeurs des droites (OK) et (CL). (On pourra utiliser une méthode graphique).
		\item En déduire que les droites (OK) et (CL) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{KOA}}$.
		\item En exprimant $\tan \widehat{\text{KOA}}$ d'une autre manière, montrer que OL $= 2$LI.
	\end{enumerate}	
\item Cette question est indépendante des questions 5 et 6.

Dans le triangle OLI, on pose IL $= x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $x$
		\item Montrer que l'aire du triangle OLI est égale à $\dfrac{1}{20}$ de l'aire du carré.
	\end{enumerate}
\item On trace le cercle circonscrit au triangle CBK. Montrer que les points J et L appartiennent à ce cercle.

Quelles sont les coordonnées du centre de ce cercle ?
\item La droite (OK) coupe (AC) en G.

Montrer que le point G est le centre de gravité du triangle OBA.
\end{enumerate}
\end{document}