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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1995}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small juin 1995}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers  juin 1995~\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Les questions de cet exercice sont indépendantes les unes des autres. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $A = (2x -1)^2 -3(5x -4)$.

Développer et réduire $A$.
\item Soit $B =(3x -1)^2 - 25$.

Factoriser $B$ et calculer $B$ pour $x = 2$.
\item Résoudre l'équation : $2 x^2 = 18$.
\item Résoudre l'inéquation : $4x - 5(x + 3) \leqslant 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Au moment de la rentrée, Pauline a payé $80$ F pour l'achat de 4 cahiers et de 3 classeurs.

Dans le même magasin, Fabien a acheté 3 cahiers et 4 classeurs identiques à ceux de Pauline. Il a payé $84,50$ F{}.

Après avoir traduit la situation sous la forme d'un système de deux équations du premier degré à deux inconnues, calculer, dans ce magasin, le prix d'un cahier et celui d'un classeur.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On pose $A = \sqrt{48} + \sqrt{20}$  et $B = \sqrt{108} -\sqrt{45}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que  $A$ s'écrit sous la forme $a\sqrt{3}+ b \sqrt{5}$
 et $B$ s'écrit sous la forme $c\sqrt{3} + d\sqrt{5}$,
où $a$, $b$, $c$, $d$ sont des entiers relatifs.
\item Montrer que le produit $AB$ est un nombre entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J) d'unité graphique 1 cm.
On donne : 
\begin{center}
A(3~;~6),\qquad B$\left(-\dfrac12~;~4\right)$\quad  et \quad  C$\left(\dfrac72~;~2\right)$.
\end{center}
\medskip


\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite (D) d'équation $y = - \dfrac12 x + \dfrac{15}{4}$ passe par
B et C.
\item Montrer que les segments [DA] et [BC] ont même milieu.
\item Montrer que les droites (OA) et (BC) sont perpendiculaires. 
\item Quelle est la nature du quadrilatère OBAC ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABCD est un trapèze rectangle en A et D tel que AD $= 3$ cm et AB $= 2$DC.

De plus, l’aire de ce trapèze est 27 cm$^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en centimètres, les longueurs DC et AB.
\item Démontrer que le périmètre du trapèze ABCD est égal à $21 + 3\sqrt 5$ cm.
\end{enumerate}

On rappelle que l’aire d’un trapèze de bases $B$ et $b$, et de hauteur $h$ est
égale à: $\dfrac{B+b}{2} \times h$.

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Soit ABCD un rectangle de centre O tel que le côté [AD] mesure 5 cm et la diagonale [BD] mesure 10 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire en vraie grandeur ce rectangle en justifiant en quelques lignes votre construction.
		\item Calculer la longueur AB et montrer que la valeur exacte de AB s'écrit sous la forme $a \sqrt{3}$ où $a$ est un entier que l'on déterminera.
	\end{enumerate}
\item Soit I le milieu de [AB]. On trace le cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de rayon OI qui coupe le segment [OB] en E et le segment [OD] en F.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle OCB est équilatéral.
		\item Montrer que E est le milieu de [OB] et que la droite (CE) est tangente au cercle $(\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite (AF) est parallèle à la droite (CE).
		\item La droite (CE) coupe la droite (AB) en J et la droite (AF) coupe la
droite (DC) en K.

Démontrer que $\dfrac{\text{BJ}}{\text{BA}} = \dfrac{1}{3}$.
		\item En déduire, en utilisant la valeur exacte de AB trouvée en 1. b., la longueur BJ puis AJ.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère AKCJ ?
		\item En déduire l'alignement des points K, O, J.
		\item Quelle est, en cm$^2$, l'aire du quadrilatère AKCJ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}