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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small septembre 1967}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers septembre 1967\footnote{Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Rennes}~\decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer le produit 
\[P(x) =  (2x - 1) (x + 5).\]
 Déterminer toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles le polynôme
obtenu s'annule.
\item Dans le polynôme $P(x)$ remplacer $x$ par $(a - 3)$ ; désigner par $P'$ le polynôme obtenu.

 Pour quelle. valeurs de $a$ le polynôme $P'$ s'annule-t-il ?
\item Simplifier la fraction rationnelle $F(x) = \dfrac{P(x)}{2x^2 -  50}$.

Soit $F'(x)$ la fraction irréductible obtenue.

Peut-on déterminer $x$ pour que $F(x)$ ait la valeur numérique 1 ?

Même question avec la fraction $F'(x)$.
\item Construire les graphes $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ des fonctions 
\begin{center}$y = 2x - 1$ \qquad et \qquad $y = 2x - 10$\end{center}
(unités : 1 cm sur chaque axe).

Soit $(\Delta)$ la droite représentative de la fonction $y= +3$.

Déterminer les abscisses des points A et B où $(\Delta)$ coupe respectivement $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
\item Déterminer la fonction dont le graphe est la perpendiculaire à $\left(D_1\right)$ menée par 
\end{enumerate}

\smallskip
(La question 2. est indépendante des autres questions.) 
\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un triangle ABC, rectangle en A, dont l'angle $\widehat{\text{B}}$ mesure $60\degres$.

La bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{A}}$ coupe (BC) en D.

La parallèle à (AD) menée par B coupe la droite (AC) en E. On pose AB $= a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $a$, les mesures de BC, AC et AE.
\item La bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAE}}$ coupe (BE) en I.

La perpendiculaire menée de B à (AD) coupe (AD) en H et (AC) en F.

Quelle est la nature du quadrilatère AIBH ?

Exprimer, en fonction de $a$, les mesures de FC, AH et BF.
\end{enumerate}
\end{document}