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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Poitiers}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~B. É. P{}. C Poitiers septembre 1971~\decofourright}\\[7pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer l'expression algébrique 
\[(5x + 1) (x + 1).\]
\item Décomposer en un produit de deux facteurs du premier degré en $x$ l'expression algébrique
\[A(x) = (2x - 3)^2 - (3x + 4)^2.\]
\item Simplifier l'expression $E(x) = \dfrac{A(x)}{5x^2 + 6x + 1}$

On notera $E'(x)$ l'expression simplifiée de $E(x)$.

\item Représenter, sur un même graphique, les droit $(D)$ et $\left(D_1\right)$ d'équations respectives
\begin{center}$y = - x - 7$\quad  et \quad $y = x + 1$.\end{center}

Résoudre graphiquement l'équation $E'(x) = 1$.
\item Soit A le point où la droite $(D)$ rencontre l'axe des abscisses et B celui où la droite $\left(D_1\right)$ rencontre l'axe des abscisses.

Soit C le point de rencontre des droites $(D)$ et $\left(D_1\right)$.

Déterminer les coordonnées des points A, B et C.

Quelle est la nature du triangle (ABC) ?
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} - Pour la question 4., on prendra comme unité 1 cm sur chaque axe.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\medskip

Étant donné un segment [BC], on désigne par (O) le cercle de diamètre [BC].

Soit A un point de (O) tel que AB > AC.

On prolonge [AC] du côté de C jusqu'en P tel que AP = AB. (Ainsi, le point C est entre A et P.)

De P{}, on mène la perpendiculaire à (BC), qui coupe le prolongement de [BA] en D et celui de [BC] en H.

Soit E l'intersection de (DC) avec (BP).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire du point C pour le triangle (BPD) ?

En déduire que E appartient à (O).
\item Montrer que AD = AC.
\item Montrer que le quadrilatère (ACHD) est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le diamètre.

En déduire que 
\[\overline{\text{PC}} \cdot \overline{\text{PA}} = \overline{\text{PH}} \cdot  \overline{\text{PD}}.\]
\item Si $\widehat{\text{ABC}} = 30\degres$, calculer BD en fonction de BC.
\end{enumerate}
\end{document}