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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1994}
\rfoot{\small Poitiers, Amérique du Sud }
\lfoot{\small septembre 1994}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Poitiers, Amérique du Sud septembre 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer sous forme d'une fraction: 
	\begin{enumerate}
		\item Le tiers de la somme de 8 et 2.
		\item La différence de 2 et du tiers de 8.
	\end{enumerate}	
\item Soit l'expression : $A = 3t^2 - 4t - 4$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $A$ pour $t = - \dfrac23$.
		\item 2 est-il solution de l'équation $3t^2 - 4t - 4 = 0$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $A = \sqrt{75}- \sqrt{3}$ et $B = \sqrt{27} \times \sqrt{\dfrac{49}{9}}$.
Écrire A et B sous la forme $n\sqrt 3$ où $n$ est un nombre entier.
\item Calculer $C = \left(5 - 2\sqrt{6}\right)\left(5 + 2\sqrt{6}\right)$.

Quel est l'inverse de $5 + 2\sqrt{6}$ ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit l'expression : $E =(3x - 1)^2 - 2x(3x - 1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip


\begin{enumerate}
\item Résoudre le système :

\[\left\{ \begin{array}{l c l}
\phantom{2}x + y &=& 27\\
2x - y &=& 6
\end{array}\right.\]

\item Dans une classe de troisième, il y a 27 élèves. 

S'il y avait deux garçons en moins et deux filles en plus, alors il y aurait 2 fois plsu
de filles que de garçons.
	\begin{enumerate}
		\item En désignant par $x$ le nombre de garçons et $y$ le nombre de filles
traduire ces données à l'aide d'équations.
		\item Trouver le nombre de filles et de garçons dans cette classe. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal (O, I, J), l'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points: M$(- 3~;~0)$,\: A$(- 2~;~5)$,\: T(3~;~6)
\item Démontrer que MAT est un triangle isocèle.
\item Placer le point H image du point M dans la translation de vecteur
$\vect{\text{AT}}$.

Démontrer que le quadrilatère MATH est un losange.
\item Calculer les coordonnées de K point d'intersection des diagonales du losange MATH.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le graphique ci-après représente le déplacement de Romain qui a fait un aller et retour de la ville A à la ville B, en vélomoteur.

Répondre aux questions a, b et c par simple lecture du graphique.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la distance entre les 2 villes?
		\item Romain s'est arrêté : Où ? Pendant combien de temps? À quelle heure est-il reparti ?
		\item Quelle a été la vitesse moyenne de Romain à l'aller? Au retour?
	\end{enumerate}	
\item Le même jour, Clément a fait en vélo le déplacement suivant: il a quitté la ville B à 8 heures en direction de la ville A. Il a roulé à la vitesse moyenne de 10 km/h. Au bout de 2 heures et demi, il s'est reposé trois quarts d'heure puis il est reparti et est arrivé en A en même temps que Romain.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la distance parcourue par Clément avant de se reposer.
		\item Représenter, sur le même graphique, le déplacement de Clément.
		\item Déterminer, à l'aide du graphique, à quelle heure et à quelle distance de la ville A Romain et Clément se sont rencontrés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%fig
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-10)(5.5,70)
\multido{\n=0.000+0.167}{34}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+2}{36}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(5.5,\n)}
\multido{\n=0+10}{7}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(5.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=80,Ox=8]{->}(0,0)(0,0)(5.5,70)
\uput[l](-0.5,0){Ville A}\uput[l](-0.5,60){Ville B}
\uput[u](5.25,0){Heure}\uput[r](0,70){Kilomètres}
\uput[l](0,10){10}\uput[l](0,0){0}
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(2,60)(3.25,60)(4.75,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\textbf{\textsc{PREMIÈRE PARTIE}}

\medskip

OIM est un triangle rectangle en I tel que OI = 2,2 m et IM = 9,9 m.

Soit S le point du segment [lM] tel que IS = 1,8 m.

On trace par S la parallèle à (OI) qui rencontre (OM) en B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner à l'échelle $\dfrac{1}{100}$ le triangle OIM et placer S et B.
\item Calculer une valeur approchée de OM à $0,1$~m près.
\item Calculer la tangente de l'angle MOI et en déduire, à $1\degres$ près, une valeur approchée de l'angle $\widehat{\text{MOI}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que SB = SI.
		\item En déduire que l'aire du trapèze BOIS et égale à $3,6$ m$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{DEUXIÈME PARTIE}}

\medskip

M. Stère veut agrandir, en l'allongeant, l'abri qui lui sert à ranger son bois de chauffage. Il se composera de deux prismes droits de même base le \emph{trapèze} BOIS.

La partie existante, grisée sur la figure,
a 2 m de long.

La partie à construire aura une longueur $x$ (en mètres) que
M. Stère n'a pas encore déterminée.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,7.1)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.5,1.7)(5.1,1.7)(8.5,3.9)(8.5,6.5)(5.8,7)(2.5,4.8)
\pspolygon(0,0)(2.6,0)(2.6,2.7)(0,3.1)
\psline(2.6,0)(5.1,1.7)
\psline(0,3.1)(2.5,4.8)
\psline(2.6,2.7)(8.5,6.5)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(5.8,4)(8.5,3.9)
\psline[linestyle=dashed](5.8,4)(5.8,7)
\uput[ul](1.3,4){$x$}\uput[ul](4.3,6){2}
\psline(2.5,4.8)(5.1,4.3)(5.1,1.7)%OBS
\uput[u](2.6,4.8){O} \uput[u](5.1,4.3){B} \uput[dr](5.1,1.7){S} \uput[ul](2.5,1.7){I}
\uput[r](5.1,3){1,8} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Exprimer, en fonction de $x$, le volume V en m3 de l'abri obtenu après agrandissement.
\item En réalité, il y a 25\,\% de place perdue : montrer que le volume utile $V'$ (en m$^3$) s'exprime par la formule $V' =2,7x + 5,4$.
\item M. Stère veut ranger $11$ m$^3$ de bois dans l'abri obtenu après agrandissement. Si $x = 1,50$ m, le volume utile permet-il de loger tout le bois ? Justifier.
\item M. Stère veut calculer la valeur minimale de $x$ lui permettant de ranger ses 11 m$^3$ de bois.
	\begin{enumerate}
		\item Ecrire l'inéquation traduisant la situation.
		\item En déduire, en dm, la valeur entière minimale à choisir pour $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}