\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Poitiers septembre 1952},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Poitiers}}
\rfoot{\small{septembre 1952}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers septembre 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant :
\[\left\{\begin{array}{l c l r}
y		&=&mx,&\qquad (1)\\
3y + 6	&=&2x,&\qquad  (2)
\end{array}\right.\]

dans lequel $m$ représente un nombre donné positif ou négatif.

Appliquer les formules trouvées au calcul des valeurs numériques de $x$ et $y$ dans le cas particulier où

\[m = -1.\]
\item Représenter graphiquement les équations (1) et (2)
dans le cas particulier où 

$m = - 1$.

\item Soient $(D)$ la courbe représentant l'équation (1), $(D')$ celle représentant l'équation (2).

Que deviennent ces courbes quand $m$ varie de $- \infty$ à $+ \infty$ ?

Étudier dans ce cas, à l'aide du graphique, le déplacement de l'intersection P de ces courbes.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC rectangle en A, d'hypoténuse [BC] telle que BC $= a$ et $\widehat{\text{B}} = 60\degres$.

On trace le demi-cercle de diamètre [AC] et de centre
O ne coupant pas [BC].

Soit D le point de ce demi-cercle tel que $\widehat{\text{ACD}} = 30\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $a$ les longueurs AB, AC, AD, CD.
\item Montrer que les triangles ABC et ACD sont semblables.

Quel est leur rapport de similitude $k$ ($k < 1$) ?

Évaluer l'aire du triangle ABC et en déduire l'aire du triangle ACD.
\item Évaluer l'aire du secteur $\widearc{\text{AOD}}$.
\end{enumerate}
\end{document}