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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Polynésie}
\lfoot{\small juin 1983}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Polynésie juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On donne les applications $f$ et $g$ suivantes :

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(3x - 5)^2 -(2x - 6)^2\\
g(x)&=&(5x - 1)^2(3 - 4x)(2 - 5x).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $f(x)$ et $g(x)$.
\item Calculer $g(3),\: f(-0,2),\: f\left(- \dfrac23\right),\: g\left(3\sqrt 2 \right), \: g\left(\sqrt 3 - 1\right)$ et $f\left(\dfrac{\sqrt 2}{3}\right)$.
\item Factoriser $f(x)$ puis résoudre, dans $\R$, l'équation $f(x) = 0$.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $f(x) = g(x)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On donne le système suivant

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x+ y &=& 10\\
x -2y &=&-5.
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Le résoudre algébriquement dans $\R \times \R$.
\item Le résoudre graphiquement, dans $\R \times \R$, en
utilisant un repère \Oij.

Unité sur les deux axes :  le centimètre.

Donner le détail de votre représentation graphique ainsi que de votre solution.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij, placer les points A, B, C tels que,

\begin{center}A$(-1~;~1)$,\qquad $\vect{\text{OB}} = 3\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}$\quad et \quad C(2~;~0).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances $d$(A, B), $d$(A, C) et $d$(B, C).

En déduire la nature du triangle ABC.
\item Calculer les coordonnées de M, milieu de [AB].
\item Calculer les coordonnées de D afin que ABCD soit un parallélogramme.
\item Calculer les coordonnées de $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{CM}}$ et montrer que ces deux vecteurs ont des directions orthogonales.
\item Calculer les coordonnées de E, symétrique du point C par rapport à M.

Démontrer que AEBC est un carré.
\item Démontrer que les points D, O et B sont alignés.
\item Calculer $\sin \widehat{\text{BAC}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{Remarque} - Compléter la figure au fur et à mesure des questions.
\end{document}