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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\lhead{\small L'année 1994}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Polynésie}
\lfoot{\small septembre 1994}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Polynésie septembre 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous la forme d'une fraction, simplifiée si cela est possible:

\[A = \dfrac{13}{4} - \dfrac49\,;\quad B = - \dfrac35 \times \left(\dfrac{-7}{19} \right)\,:\quad C = \dfrac37 \div \left(\dfrac{-4}{5} \right)\,; \quad D = - 2 \times \dfrac{7}{10}.\]

\item  Développer :

F = (x - 3)2; 

$G = \left(\sqrt 5 - \sqrt 2\right)\left(\sqrt 5 + \sqrt 2\right)$ ;

$H = (3x - 4)(x + 5)$

\item  On considère l'expression:

$I = (2x + 3)^2- (2x + 3)(x + 5)$. 

	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $I$.
		\item Résoudre l'équation $(2x + 3)(x - 2) = 0$.
	\end{enumerate}	
\item  Résoudre le système dont les inconnues $x$ et $y$ sont des nombres réels:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x- 2y&=&7 \\
-5x +3y&=&-11
\end{array}\right.\]

\item Les élèves d'une classe de 3\up{e} ont été interrogés sur l'argent de poche dépensé la semaine précédente. Les réponses ont été les suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline
\scriptsize Argent de poche dépensé en F&[100-200[& [200-300[& [300-400[& [400-500[& 500-600[& [ 600-700[& [ 700-800[\\ \hline
\scriptsize effectif &1 &4 &10 &9 &3 &2&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'effectif total ?
		\item Quel est le pourcentage d'élèves situés dans la classe [500 - 600[ ?
		\item Quel est le pourcentage d'élèves ayant dépensé moins de 400 F ?
		\item Construire l'histogramme de cette série statistique; prendre pour unité en abscisse 1 cm pour chaque classe [100-200[, [200-300[, etc. et en ordonnée 1 cm pour l'élève.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Toutes les données sont marquées sur la figure.

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle AHC est rectangle en H.
Montrer qu'en plus il est isocèle. 
		\item En déduire HC.
		\item Calculer AC à 0,01 près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(5.3,3)
\pspolygon(0.2,0.2)(3.7,0.2)(1.4,2.5)%BCA
\psline(1.4,2.5)(1.4,0.2)%AH
\psarc(3.7,0.2){0.4}{135}{180}\rput(3.1,0.35){\footnotesize $45\degres$}
\psarc(1.4,2.5){0.4}{240}{270}\rput(1.2,1.7){\footnotesize $30 \degres$}
\psarc(1.4,2.5){0.45}{240}{270}
\uput[r](1.4,1.35){3 cm}
\uput[u](1.4,2.5){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](3.7,0.2){C} \uput[d](1.4,0.2){H} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume,start=2]
\item Dans le triangle rectangle AHB calculer la longueur HB à $0,01$ près.

En déduire BC à $0,01$ près.

$\left(\text{on rappelle que }\, \cos 30\degres = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\, ;\, \sin  30\degres = \dfrac12\, ; \,\tan 30\degres = \dfrac{\sqrt 3}{3}\right)$
\item Calculer la longueur AB à 0,01 près.
\item  Le triangle ABC est-il rectangle en A? Justifier la réponse. 
BHC
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
Sur la figure on a 

OA $= 12$ cm, OB $= 15$ cm, 
OC $= 48$ cm, 

OF $=36$ cm, OE $= 12$ cm, AD $= 5$~cm.

De plus les droites (AD) et (CF) sont parallèles.

\begin{enumerate}
\item Calculer OD.
\item Calculer CF.
\item Les droites (AD) et (BE) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(4.4,3)
%\psgrid
\psline(4.1,2.9)(0.2,0.9)(4,0)%COF
\psline(1.9,2.1)(1.6,0.4)%AD
\psline(2.7,2.5)(2.3,0.3)%BE
\psline(4,3)(3.4,0)%CF
\uput[ul](1.8,1.7){A} \uput[ul](2.62,2.15){B}\uput[ul](3.98,2.82){C}\uput[dl](1.59,0.6){D}
\uput[dr](2.3,0.4){E}\uput[dr](3.4,0.17){F}\uput[l](0.2,0.9){O}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\medskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Cet exercice utilise le dessin ci-dessous.

Recopier et compléter les phrases suivantes:

La figure $F_3$ est la transformée de ... dans la symétrie orthogonale par rapport à $d$.

La figure $F_3$ est la transformée de ... dans la symétrie de centre O. La figure $F_3$ est la transformée de ... dans la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.

La figure $F_3$ est la transformée de ... dans la rotation de centre O et d'angle $180\degres$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.4pt,gridlabels=0pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=6,Dy=6](0,0)(-5,-5)(5,5)
\pspolygon[linewidth=2pt](-2.5,0.5)(-2.5,1.5)(-1.5,1.5)(-3.5,3.5)(-4.5,2.5)(-3.5,2.5)(-3.5,1.5)
\pspolygon[linewidth=2pt](2.5,0.5)(2.5,1.5)(1.5,1.5)(3.5,3.5)(4.5,2.5)(3.5,2.5)(3.5,1.5)
\pspolygon[linewidth=2pt](-2.5,-0.5)(-2.5,-1.5)(-1.5,-1.5)(-3.5,-3.5)(-4.5,-2.5)(-3.5,-2.5)(-3.5,-1.5)
\pspolygon[linewidth=2pt](2.5,-0.5)(2.5,-1.5)(3.5,-1.5)(1.5,-3.5)(0.5,-2.5)(1.5,-2.5)(1.5,-1.5)
\uput[dr](0,0){O}\uput[d](4.75,0){$d$}\uput[r](0,4.75){$d'$}
\rput(-3.25,2.5){$F_1$}\rput(3.25,2.5){$F_2$}\rput(-3.25,-2.5){$F_3$}\rput(1.75,-2.5){$F_4$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Construire un repère orthonormal (O, I, J) (unité 1 cm) et les points A(4~;~3), B$(3~;~- 4)$, C$(7~;~-1)$.

\medskip


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation de la droite (OA).
		\item Le point C appartient-il à la droite (OA) ?
		
Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation de la droite (OB).
		\item Démontrer que les droites (OA) et (OB) sont perpendiculaires.
		
Le triangle OAB est donc rectangle en O.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les longueurs OA et OB.
		\item Quelle propriété en résulte-t-il pour le triangle OAB ?
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du milieu K de [ABJ.
		\item Démontrer que C est le symétrique de 0 par rapport à K.
	\end{enumerate}
\item Prouver que le quadrilatère OACB est un carré.
\item Projeter orthogonalement le point C sur l'axe des abscisses en H. 

Construire le cercle circonscrit au carré OACB.

Démontrer que H est sur ce cercle.
\end{enumerate}
\end{document}