\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small juin 1997} \lfoot{\small Polynésie} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Polynésie juin 1997 \decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{PARTIE NUMÉRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer et donner chaque résultat sous la forme d'une fraction aussi simplifiée que possible. \[A = \dfrac32 - \dfrac56 \times \dfrac{2}{15}, \qquad B = \dfrac{\dfrac43}{2}\] \item Calculer $C$ et donner l'écriture décimale du résultat: \[C = \dfrac{5\times 6 \times 10^{-4}}{15 \times10^3}\] \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip La Polynésie française compte \np{219500}~habitants. Leur répartition géographique est représentée par le diagramme circulaire ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(-4,-2.2)(4,3.4) %\psgrid \pscircle(0,0){2} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,0){2}{180}{90} \pswedge[fillstyle=hlines](0,0){2}{90}{100.82} \pswedge[fillstyle=vlines](0,0){2}{100.82}{113.94} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){2}{113.94}{159.89} \pswedge(0,0){2}{159.89}{180} \rput(3,0){\footnotesize Îles du Vent}\rput(3,-0.4){\footnotesize \np{162700} hab.} \rput(1,2.6){\footnotesize Îles Australes}\rput(1,2.2){\footnotesize \np{6600} hab.} \psline{->}(0.3,2.3)(-0.2,1.95) \rput(-1,2.6){\footnotesize Îles Marquises} \rput(-1,2.2){\footnotesize \np{8000} hab.} \rput(-2.4,1.8){\footnotesize Îles sous le Vent}\rput(-2.4,1.4){\footnotesize \np{26800} hab.} \rput(-3,0.4){\footnotesize Îles Tuamotu-} \rput(-3,0){\footnotesize Gambier} \end{pspicture} \end{center}%fig \begin{enumerate} \item Calculer le nombre d'habitants des îles Tuamotu-Gambier. \item Calculer le pourcentage des habitants des Îles sous le Vent par rapport à la population totale. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip Résoudre le système: $\left\{\begin{array}{l c l} \phantom{9}x + \phantom{16}y&=&10\\ 9x + 16y &=& 132. \end{array}\right.$ \medskip \textbf{Exercice 4} \medskip On considère l'expression : $D = (2x - 3)^2 - 4$. \medskip \begin{enumerate} \item Factoriser $D$. \item Développer et réduire $D$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{minipage}{0.48\linewidth} \emph{Attention cette figure n'est pas à l'échelle.} L'unité est le centimètre. AC $= 8$\quad AB $= 6$\quad BC $= 4$ AF $= 6$\quad AE $= 4,5$ \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.48\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4.4,2.4) \pspolygon(0.2,0.2)(3.7,0.2)(4.1,2)%ABC \psdots(2.7,0.2)(3.12,1.55)%EF \uput[l](0.2,0.2){A} \uput[r](3.7,0.2){B} \uput[u](4.1,2){C} \uput[d](2.7,0.2){E} \uput[ul](3.15,1.6){F} \end{pspicture} \end{minipage} \begin{enumerate} \item Les droites (EF) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse. \item La parallèle à la droite (FB) passant par E coupe le segment [AC] en un point G. Calculer la longueur AG. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{minipage}{0.48\linewidth} Deux points B et M sont situés de part et d'autre du chenal Tahiti- Moorea. Un géomètre veut calculer la distance séparant ces deux points. Il sait que : $\widehat{\text{BAM}} = 75\degres, \quad \widehat{\text{ABM}} = 60\degres$, \quad AB $= 16$. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.48\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5.3,4) %\psgrid \rput(4.9,2.2){Tahiti} \rput(0.6,3.5){Moorea} \psdots(0.3,0.6)(4.6,1.8)(1.3,3.5) \pscurve(0,0.1)(0.5,0.15)(1,0.5)(2,2.4)(1.9,3.8) \pscurve(4.7,0.7)(4.1,1.3)(4.2,2.5)(4.9,2.9) \pspolygon[linestyle=dashed](0.3,0.6)(4.6,1.8)(1.3,3.5)%BMA \psline[linestyle=dashed](1.3,3.5)(1.93,1.05)%AH \uput[u](1.3,3.5){A} \uput[dl](0.3,0.6){B} \uput[d](4.6,1.8){M} \uput[dr](1.93,1.05){H} \psarc(1.3,3.5){0.4}{-105}{-30}\rput(1.5,2.9){$75\degres$} \psarc(0.3,0.6){0.4}{18}{78}\rput(0.8,1.1){$60\degres$} \rput{16}(1.93,1.05){\psframe(0.2,0.2)} \end{pspicture} \end{minipage} L'unité de longueur est le kilomètre. On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BM). \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle ABH, calculer la longueur BH. On admettra pour la suite de l'exercice que BH $= 8$. \item Calculer la valeur exacte de la longueur AH ; on montrera que AH $= 8\sqrt 3$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'angle $\widehat{\text{HAM}}$ mesure $45\degres$. \item En déduire, sans calcul, que : HM = HA. Justifier votre réponse. \end{enumerate} \item Calculer la longueur BM. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PROBLÈME} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité est le centimètre. La figure sera faite sur une feuille de papier millimétré. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points dont les coordonnées sont : A$(-4~;~2)$\quad B(4~;~4)\quad C(5~;~0). \item Déterminer une équation de la droite (AB). \emph{On admettra pour la suite du problème que la droite {\rm(AB)} a pour équation} : $y = \dfrac14 x + 3$. \item On appelle $(\Delta)$ la droite d'équation: $y = -4x + 20$. \begin{enumerate} \item Vérifier par le calcul que les points B et C appartiennent à $(\Delta)$. \item Tracer la droite $(\Delta)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les droites $(\Delta)$ et (AB) sont perpendiculaires. \item En déduire la nature du triangle ABC. \item Calculer les longueurs AB et BC. \item Calculer l'aire du triangle ABC. \item On appelle E le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Calculer les coordonnées du point E. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}