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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Polynésie}
\lfoot{\small juin 2000}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Brevet des collèges Polynésie juin 2000~\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 }

\medskip

Calculer les nombres $A, B, C$ en donnant le résultat sous forme de fractions simplifiées :

\begin{center}  $A = 1 + \dfrac23 \times \dfrac95 \qquad B = \dfrac{10^{-3} \times 10^8}{10^6} \qquad 
  C = - \dfrac43 + \dfrac{16}{45}$\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression: 
\[D(x) = (2x + 1)^2 - (2x + 1)(x + 3).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D(x)$.
\item Factoriser $D(x)$.
\item Calculer $D(x)$ pour $x = - \dfrac12$ et $x = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation d'inconnue $x$ :
\[\dfrac13 x + 5 = 0.\]

\item Résoudre l'équation d'inconnue $x$ : 
\[(2x + 1)(x - 2) = 0.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Voici un tableau donnant la population de la Polynésie française par classe d'âge en 1996.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau ci-dessous.

Les fréquences seront exprimées en pourcentage, arrondies au dixième.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âge 	&[0, 20[		&[20,40[	&[40, 60[	&60 et plus	&Total\\ \hline
Effectif& \np{94651} 	& \np{75537}& \np{37940}& \np{13193}&\\ \hline
Fréquence&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Calculer le nombre de personnes qui ont moins de 40 ans.
\item Calculer le nombre de personnes âgées de 40 ans ou plus.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES\hfill 12 points}

\bigskip

Dans tous les exercices :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] les mesures de longueur sont données en cm ;
\item[$\bullet~~$]les figures ne sont pas en vraie grandeur.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Exercice 1 }

\medskip

ABCDHEFG est un cube d'arête $6$~cm.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(4,3.7)
\psframe(0.2,0.3)(2.5,2.8)%ABCD
\psline(2.5,0.3)(3.4,0.9)(3.4,3.2)(2.5,2.8)%CGHD
\psline(3.4,3.2)(1.1,3.2)(0.2,2.8)%HEA
\psline(0.2,2.8)(2.5,0.3)%AC
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.3)(1.1,0.9)(3.4,0.9)%BFG
\psline[linestyle=dashed](3.4,0.9)(0.2,2.8)(1.1,0.9)(1.1,3.2)%GAFE
\uput[ul](0.2,2.8){A} \uput[dl](0.2,0.3){B} \uput[d](2.5,0.3){C} \uput[ul](2.5,2.8){D}
\uput[u](1.1,3.2){E} \uput[dr](1.1,0.9){F} \uput[r](3.4,0.9){G} \uput[ur](3.4,3.2){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer AC ; donner la valeur exacte.
\item On admettra que le triangle ACG est rectangle en C.

Calculer AG ; donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au mm.
\item On considère la pyramide ABCGF{}.

Calculer le volume de cette pyramide.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABC est un triangle rectangle en A tel que :

AC $= 5$ et l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ mesure $40\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure en vraie grandeur.
\item Calculer AB ; on donnera la valeur arrondie au mm.
\item Tracer la hauteur issue de A : elle coupe [BC] en H.

Calculer AH et en donner la valeur arrondie au mm.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(5.2,3)
\pspolygon(0.3,0.3)(4.8,0.3)(3.1,2.3)%ACB
\psline(1.9,0)(0.2,2)%NM
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[u](3.1,2.3){B} \uput[dr](4.8,0.3){C} \uput[u](1.3,1){M} \uput[dl](1.9,0.3){N}
\end{pspicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.65\linewidth}
On donne : 

AM = 1,5 

MB = 4,5 

AN = 2,5 

NC = 7,5

BC = 8
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
\item Calculer MN.
\item Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME\hfill 12 points}

\medskip

Monsieur Y. habite à Papeete et travaille parfois à Rangiroa.

La compagnie Air-Lagon lui propose deux possibilités :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Tarif 1 (tarif normal) : chaque billet aller-retour est vendu \np{30000} F.
\item[$\bullet~~$]Tarif 2 (tarif \og abonné \fg) : ce tarif comprend l'achat d'une carte \og Trafic \fg{} d'une valeur de \np{54000}~F et permet de payer tous les billets avec une réduction de $30\,\%$ sur le tarif normal.
\end{itemize}

Le problème est de déterminer à partir de combien de trajets il est avantageux d'acheter la carte \og Trafic \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le prix du billet aller-retour avec une réduction de $30\,\%$ sur le tarif normal s'élève à \np{21000}~F{}.
		\item En déduire que, avec le tarif 2 (\og abonné \fg), le montant à payer pour trois billets aller-retour s'élèverait à \np{117000}~F{}.
	\end{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de billets aller-retour&2&3&5&8\\ \hline
Prix selon le tarif 1 en francs&&&&\\ \hline
Prix selon le tarif 2 en francs&&\np{117000}&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Pour généraliser, on appelle $x$ le nombre de billets aller-retour.

Exprimer, en fonction de $x$, les dépenses $P_1(x)$ et $P_2(x)$ correspondant aux tarifs 1 et 2.
\item Pour cette question, utiliser une feuille de papier millimétré.

O étant placé en bas et à gauche de la feuille de papier millimétré, le plan est rapporté à un repère orthogonal d'origine O et d'unités graphiques :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]2 cm pour 1 sur l'axe des abscisses;
\item[$\bullet~~$]1 cm pour \np{10000}~F sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item Tracer le repère.
		\item Tracer, dans ce repère, la droite $D_1$ d'équation: $y = \np{30000}x$, et la droite $D_2$ d'équation: $y = \np{21000}x + \np{54000}$.

($D_1$ et $D_2$ sont les représentations graphiques de $P_1$ et $P_2$)
	\end{enumerate}
\item Par lecture graphique, déterminer le nombre de trajets à partir duquel le tarif 2 est avantageux.

Tracer les pointillés qui justifient votre réponse.
\item Retrouver le résultat précédent en résolvant l'inéquation :
\[\np{21000}x + \np{54000} < \np{30000}x.\]

\end{enumerate}
\end{document}