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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small septembre 1997}
\lfoot{\small Polynésie}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Polynésie septembre 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et $B$; on donnera chaque résultat sous la forme d'une fraction aussi simplifiée que possible.

\[A = \dfrac34 - \dfrac53 \times \dfrac{5}{10}\, ; \qquad B = \dfrac{\dfrac53}{2}.\]

\item On donne: $C = \sqrt{45} - \sqrt{80}$.

Écrire $C$ sous la forme $a\sqrt 5$, où $a$ est un entier relatif.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne : $D = 36 - (2x+ 3)^2$.

\begin{enumerate}
\item Factoriser $D$.
\item Développer et réduire $D$.
\item Calculer $D$ lorsque $x = - 1$.
\item Résoudre l'équation $(3 - 2x)(9 + 2x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans une maternité, on a mesuré la taille des 40 derniers nouveau-nés.

On a regroupé les résultats dans le tableau des effectifs suivants : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.1cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Taille en cm &45&46&47&48&49&50&51&52&53&54&55 \\ \hline
Effectif &1&3 &2 &4&10&7& 5 &2 &3 &1&2\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sur une feuille de papier millimétré, construire un diagramme en bâton correspondant à ce tableau.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre de nouveau-nés dont la taille est de 49 cm?
		\item Exprimer ce nombre en pourcentage du nombre total de nouveau-nés.
	\end{enumerate}	
\item  Calculer la taille moyenne des 40 derniers nouveau-nés de la maternité.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.68\linewidth}
\emph{Attention la figure ci-contre n'est pas à l'échelle}

ABC est un triangle rectangle en A. L'unité est le centimètre.

AC $= 8$ et BC $= 12$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3.4)
\pspolygon(0.2,3.2)(3.2,3.2)(0.2,0.2)%ABC
\psframe(0.2,3.2)(0.4,3.)
\uput[l](0.2,3.2){A} \uput[r](3.2,3.2){B} \uput[l](0.2,0.2){C} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire avec précision le triangle ABC. On laissera apparents les traits de construction.
\item Calculer la valeur exacte de AB.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le sinus de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$. (Donner la valeur exacte).
		\item En déduire la valeur de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ arrondie au degré.
	\end{enumerate}	
\item M est le point du segment [BC] tel que CM $= 9$ cm.

La parallèle à (AB) passant par M coupe [AC] en N. 

Calculer la longueur CN.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
On considère une pyramide régulière SABCD.

Sa base est un carré ABCD de côté $20$ cm.

Sa hauteur SO mesure $30$ cm.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,5.8)
\pspolygon(2,5.1)(0.2,0.2)(3.2,0.2)(3.8,1.6)(2,5.1)(0.2,0.2)(3.2,0.2)%SABCSB
\pspolygon[linestyle=dashed](0.2,0.2)(0.8,1.6)(3.8,1.6)%ADCA
\psline[linestyle=dashed](3.2,0.2)(0.8,1.6)(2,5.1)(2,0.9)%BDSO
\uput[d](0.2,0.2){A} \uput[d](3.2,0.2){B} \uput[r](3.8,1.6){C}
\uput[dr](0.75,1.57){D} \uput[u](2,5.1){S} \uput[d](2,0.9){O}
\psline(2,5.1)(0.8,1.6)(0.2,0.2)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Calculer, en cm$^3$, le volume $V$ de cette pyramide.
\item On désire construire une réduction de cette pyramide dont le côté de la base mesure $4$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Par quel nombre faut-il multiplier les longueurs de la grande pyramide pour obtenir les longueurs de la pyramide réduite.
		\item Calculer la hauteur de la pyramide réduite.
		\item Par quel nombre faut-il multiplier le  volume V de la grande pyramide pour obtenir le volumeV de la pyramide réduite.

		\item  Calculer, en cm$^3$, le volume de la pyramide réduite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J) d'unité le centimètre. 

La figure sera faite sur une feuille de papier millimétré.

On appelle A et B les points dont les coordonnées sont : A$(0~;~-4)$, \quad  B(B~;~0).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite (AB).
\end{enumerate}

\emph{On admettra pour la suite du problème que la droite (AB) a pour équation: $y = \dfrac12 x - 4$.}

\smallskip

\begin{enumerate}[resume]
\item On appelle $(d)$ la droite d'équation : $y= - 2x + 6$. Tracer la droite $(d)$.
\item On appelle M le milieu de [AB].
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point M.
		\item Montrer que le point M appartient à la droite $(d)$.
		\item Montrer que les droites $(d)$ et (AB) sont perpendiculaires. 
		\item Que représente la droite $(d)$ pour le segment [AB]?
		\item La droite $(d)$ coupe l'axe des ordonnées en un point E.
		
On ne demande pas de calculer les coordonnées de E.

Montrer que le triangle EAB est isocèle.
	\end{enumerate}
\item On appelle $(\mathcal{C})$ le cercle de diamètre [AB].

Le cercle $(\mathcal{C})$ recoupe la droite (BE) en un point N différent de B. On ne demande pas de calculer les coordonnées de N.

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle ANB ? Justifier votre réponse.
		\item Que peut-on dire de la droite (AN) vis à vis du triangle EAB ? Justifier votre réponse.
		\item Que peut-on dire de la droite (OB) vis à vis du triangle EAB ? Justifier votre réponse.
		\item Pourquoi les droites $(d)$, (OB) et (AN) sont-elles concourantes ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(2.3,4.3)
%\end{pspicture}
%\begin{minipage}{0.8\linewidth}
%\end{minipage}


\end{document}