\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage UTF8 \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{diagbox} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{colortbl} \usepackage{xcolor} \usepackage{xspace}%espace après \fg %\usepackage{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage{dcolumn} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} %Sujet aimablement fourni par %Tapuscrit : Denis Vergès \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{graphics,graphicx} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage{scratch3} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \frenchbsetup{StandardLists=true} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet des collèges}, pdftitle = {Polynésie 9 septembre 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet des collèges} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{9 septembre 2024}} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie 9 septembre 2024~\decofourright}} \bigskip \textbf{Durée : 2 heures} \medskip L'annexe est à rendre avec la copie. \end{center} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\textbf{}}X|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{Indications portant sur l'ensemble du sujet}\\ Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\ Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 21 points} \medskip \emph{Dans cet exercice, toutes les questions sont indépendantes.} \medskip \begin{enumerate} \item On a décomposé ci-dessous cinq nombres en produits de facteurs premiers. Parmi ces nombres, lesquels sont divisibles par 21 ? \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.6} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre 1& Nombre 2& Nombre 3& Nombre 4& Nombre 5\\ \hline $2^2 \times 11 \times 23$ &$2^4 \times 3^4 \times 11$ &$7^3 \times 13 \times 17$ &$2 \times 3 \times 5 \times 7$&$2^3 \times 3^2 \times 7$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Donner, sans justification, l'écriture scientifique du nombre \np{0,00000276}. \item La comète Hale-Bopp a atteint la vitesse de \np{2640} km/min. Quelle est sa vitesse en m/s ? \item Quelles sont les solutions de l'équation \[(2x - 7)(3x + 1) = 0 \:?\] \item On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 5x^2 + 2$. Quelle est l'image de $-3$ par la fonction $f$ ? \end{enumerate} \begin{minipage}{0.48\linewidth} \begin{enumerate}[resume] \item Sur la figure ci-contre (qui n'est pas à l'échelle) : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item les points A, E et C sont alignés; \item les points B, D et C sont alignés; \item les droites (AB) et (ED) sont parallèles; \item AB $= 5$ cm, BD $= 1$ cm, CD $= 3$ cm. \end{itemize} Calculer DE. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.48\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6.6,4.4) \pspolygon(0.4,2.2)(4.8,3.7)(6.2,0.4)%ABC \psline(1.72,1.8)(5.1,3) \uput[l](0.4,2.2){A} \uput[u](4.8,3.7){B} \uput[dr](6.2,0.4){C} \uput[r](5.1,3){D} \uput[dl](1.72,1.8){E} \uput[u](2.6,2.95){5 cm} \uput[r](4.95,3.35){1 cm} \uput[r](5.65,1.7){3 cm} \end{pspicture} \end{minipage} %\bigskip \newpage \textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 20 points} \medskip On a relevé dans une feuille de calcul les températures maximales Tmax (en \degres C) atteintes à Strasbourg le 25 juin de chaque année de 2010 à 2018 (source : meteociel.fr). \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash\cellcolor{lightgray}} c|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \rowcolor{lightgray} &A &B &C&D&E&F&G&H&I&J\\ \hline 1 &Année &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018\\ \hline 2 &Tmax & 29 &$23,1$ & $22,6$ &$17,4$ &$23,4$ &$25,7$ &$25,2$ &26 &24\\ \hline 3 & & & & & & & & & &\\ \hline 4 &Moyenne & & & & & & & & &\\ \hline 5 &Médiane &24 & & & & & & & &\\ \hline 6 &Étendue &$11,6$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item On a oublié de calculer la moyenne de cette série. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B4 pour que ce calcul soit effectué ? \item Donner, sans détailler les calculs, une valeur approchée au degré Celsius près de la moyenne de la série. \item Donner une interprétation de la médiane de cette série. \item Pour cette question seulement, on considère la série des températures maximales atteintes à Strasbourg le 25 juin de chaque année de 2010 à 2019. On sait que l'étendue des températures de cette nouvelle série est égale à $18,5\degres$~C. Déterminer la température maximale atteinte à Strasbourg le 25 juin 2019. \end{enumerate} \medskip Les questions suivantes portent sur la série des températures maximales atteintes à Strasbourg le 25 juin de chaque année de 2010 à 2018. \medskip \begin{enumerate}[resume] \item On crée 9 fiches, une par année, sur lesquelles figure la température maximale atteinte le 25 juin de l'année. On prend une fiche au hasard. Chacune des fiches a la même probabilité d'être tirée. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que la température écrite sur cette fiche soit égale à $26\degres$~C ? \item Quelle est la probabilité que la température écrite sur cette fiche soit inférieure ou égale à 24$\degres$~C? \item A-t-on raison de dire que l'on a plus de 40\,\% de chance de prendre une fiche sur laquelle la température est supérieure à $25\degres$~C? \end{enumerate} \end{enumerate} %\bigskip \newpage \textbf{\large{}Exercice 3 \hfill 17 points} \medskip \begin{minipage}{0.58\linewidth} Sur la figure ci-contre, qui n'est pas à l'échelle, \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item le triangle ONM est rectangle en N, \item le triangle OPQ est rectangle en P{}, \item le triangle ORS est rectangle en R, \item ON $= 6$ cm et $\widehat{\text{MON}} = 32\degres$. \item P est un point du segment [OM] et R est un point du segment [OQ]. \end{itemize} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.42\linewidth} \psset{unit=1.1cm} \begin{pspicture}(4.5,4.1) %\psgrid \pspolygon(0.3,1.3)(0.3,3.6)(4.1,3.6)%%MNO \psline(0.82,1.62)(1.7,0.3)(4.1,3.6)%PQO \psline(3.04,2.18)(3.65,1.7)(4.1,3.6)%RSO \psframe(0.3,3.6)(0.5,3.4)\rput{-57}(0.82,1.62){\psframe(0.2,0.2)} \rput{-38}(3.04,2.18){\psframe(0.2,0.2)} \psarc(4.1,3.6){0.8}{180}{212} \uput[d](0.3,1.3){M} \uput[ul](0.3,3.6){N} \uput[ur](4.1,3.6){O} \uput[d](0.78,1.62){P} \uput[d](1.7,0.3){Q} \uput[d](3.09,2.18){R} \uput[d](3.65,1.7){S} \uput[u](2.2,3.6){6 cm} \rput(3.65,3.45){\footnotesize $32\degres$} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la mesure de la longueur MN. On donnera une valeur approchée au millimètre près. \item On donne PQ $= 2,5$ cm et OQ $= 6,5$ cm. Montrer que OP $= 6$ cm. \item Montrer que les triangles ONM et OPQ ne sont pas des triangles égaux. \item Sachant que le triangle OPQ est un agrandissement du triangle ORS et que OS $= 3,25$ cm, calculer l'aire du triangle ORS. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large{}Exercice 4 \hfill 19 points} \medskip \begin{enumerate} \item Sur la figure ci-dessous, DEFGH est un pentagone régulier et le point E appartient à la demi-droite [D$y$). On admet que tous les angles du pentagone régulier mesurent $108$ degrés. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(3.5,2.1) \pspolygon(1.7;18)(1.7;90)(1.7;162)(1.7;234)(1.7;306)%FGHDE \uput[dl](1.7;234){D} \uput[d](1.7;306){E} \uput[r](1.7;18){F} \uput[u](1.7;90){G} \uput[l](1.7;162){H} \uput[d](3.2,-1.39){$y$} \psline(1.7;306)(3.3,-1.39) \psarc(1.7;306){0.7}{0}{72} \end{pspicture} \end{center} \medskip Justifier que l'angle $\widehat{\text{FE}y}$ mesure $72$ degrés. \item Dans la suite de cet exercice, aucune justification n'est attendue. \begin{enumerate} \item Compléter le bloc \og pentagone \fg{} en ANNEXE, à rendre avec la copie, pour obtenir un pentagone régulier. La variable \og longueur \fg{} permet de modifier la longueur des côtés du pentagone. \item Camille, Lou et Zoé ont chacun codé un programme qui trace un pentagone et son image par l'une des transformations suivantes : translation, symétrie centrale, rotation. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}} \hline Programme de Camille&Programme de Lou&Programme de Zoé\\ \hline \begin{scratch}[num blocks,scale=0.8] \blockinit{Quand \greenflag est cliqué} \blockpen{effacer tout} \blockmove{aller à x : \ovalnum{0} y : \ovalnum{0}} \blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}} \blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{60}} \blockmoreblocks{pentagone} \blockmove{avancer de \ovalnum{120} pas} \blockmoreblocks{pentagone} \end{scratch} & \begin{scratch}[num blocks,scale=0.8] \blockinit{Quand \greenflag est cliqué} \blockpen{effacer tout} \blockmove{aller à x : \ovalnum{0} y : \ovalnum{0}} \blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}} \blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{60}} \blockmoreblocks{pentagone} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés} \blockmoreblocks{pentagone} \end{scratch} & \begin{scratch}[num blocks,scale=0.8] \blockinit{Quand \greenflag est cliqué} \blockpen{effacer tout} \blockmove{aller à x : \ovalnum{0} y : \ovalnum{0}} \blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}} \blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{60}} \blockmoreblocks{pentagone} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{180} degrés} \blockmoreblocks{pentagone} \end{scratch}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On rappelle que l'instruction \og s'orienter à 90 \fg{} signifie que l'on s'oriente vers la droite. Les trois élèves ont effectué une copie d'écran de ce qu'ils ont obtenu sans indiquer ni leur prénom ni le nom de la transformation choisie. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline Copie d'écran 1 &Copie d'écran 2& Copie d'écran 3\\ \hline \begin{center} \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \def\penta{\pspolygon(1.;18)(1.;90)(1.;162)(1.;234)(1.;306)} \rput{-12}(-0.3945,0.1045){\penta}\rput(0.6,0.){\penta} \end{pspicture} \end{center} & \begin{center} \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \def\penta{\pspolygon(1.;18)(1.;90)(1.;162)(1.;234)(1.;306)} \rput(0.6,0.6){\penta}\rput{180}(-0.6,-1){\penta} \end{pspicture} \end{center} & \begin{center} \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \def\penta{\pspolygon(1.;18)(1.;90)(1.;162)(1.;234)(1.;306)} \rput(-1.2,0){\penta}\rput(1.2,0){\penta} \end{pspicture} \end{center}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Compléter le tableau en ANNEXE, à rendre avec la copie, en associant le prénom de l'élève au numéro de sa copie d'écran ainsi qu'au nom de la transformation qu'il a choisie. \item Sofia souhaite illustrer à l'aide d'un programme l'effet d'une homothétie sur un pentagone. Le tableau en ANNEXE donne, dans le désordre, toutes les instructions utiles pour écrire ce programme. L'ordre d'apparition dans le programme de deux instructions est précisé. Compléter ce tableau sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie, en indiquant l'ordre d'apparition de chacune des instructions dans le programme de Sofia. \end{enumerate} \end{enumerate} %\bigskip \newpage \textbf{\large{}Exercice 5 \hfill 23 points} \medskip La piscine du camping \og le Rocher\fg{} dispose d'un bassin circulaire de forme cylindrique de rayon $3,60$~m et de hauteur $1,50$~m. En fin de saison, on utilise une pompe dont le débit est de $14,1$~m$^3$/h pour vider l'eau de la piscine. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que le volume du bassin, arrondi au dixième de m$^3$, est 61,1m$^3$. \item Le bassin est plein. On met en route la pompe. Au bout de 2 heures, quel volume d'eau en m$^3$ reste-t-il à vider ? \end{enumerate} On considère la fonction $V\::\: t \longmapsto 61,1 - 0,235 t$. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'expression $V(t)$ permet de déterminer le volume d'eau en m$^3$ qu'il reste à vider dans le bassin en fonction de la durée $t$, exprimée en minute, d'utilisation de la pompe. \item Calculer le temps nécessaire pour que le volume d'eau restant à vider soit égal à $30$ m$^3$. On donnera une valeur approchée à la minute près. \end{enumerate} \item On a tracé ci-dessous une partie de la représentation graphique de la fonction $V$. \begin{center} \psset{unit=0.04cm,arrowsize=3pt 3} \begin{pspicture*}(-20,-20)(330,120) \psgrid[unit=2cm,subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](-1,-1)(7,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=50,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-20,-20)(330,120) %\multido{\n=0+10}{32}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,110)} %\multido{\n=0+10}{12}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(330,\n)} %\multido{\n=0+50}{6}{\psline[linewidth=0.7pt](\n,0)(\n,110)} %\multido{\n=0+50}{3}{\psline[linewidth=0.7pt](0,\n)(330,\n)} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-20}{330}{61.1 0.235 x mul sub} \uput[u](305,0){$t$}\uput[r](0,105){$V(t)$} \end{pspicture*} \end{center} Répondre aux questions suivantes par une lecture graphique. \begin{enumerate} \item Déterminer l'antécédent de 40 par la fonction $V$. Interpréter le résultat. \item Déterminer le temps nécessaire pour que la pompe vide complètement le bassin. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{\large ANNEXE}\end{center} \medskip \textbf{Exercice 4} \vspace{1cm} \begin{tabular}{c c c} \textbf{Question 2. a.}&&\textbf{Question 2. b.}\\%[7pt] \\ \begin{scratch}[scale=1] \initmoreblocks{définir \namemoreblocks{pentagone}} \blockpen{stylo en position d'écriture} \blockrepeat{répéter \ovalnum{\hspace*{0.7cm}} fois} {\blockmove{avancer de \ovalnum{longueur} pas} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{\hspace*{0.7cm}} degrés} } \blockpen{relever le stylo} \end{scratch} && {\renewcommand{\arraystretch}{1.6} \begin{tabular}[t]{|m{1.5cm}|m{1.3cm}|m{3.5cm}|} \multicolumn{3}{c}{~~}\\ \hline Nom de\newline l'élève&Numéro\newline de la\newline copie d'écran&Nom de la\newline transformation\\ \hline Camille&&\\ \hline Lou &&\\ \hline Zoé&&\\ \hline \end{tabular}}\\ \end{tabular} \vspace{1cm} \textbf{Question 2. c.} \bigskip \begin{center} \begin{tabular}{|l| p{7cm}|}\hline Instruction&Ordre d'apparition de l'instruction dans le programme de Sofia\\ \hline \begin{scratch}[scale=0.8]\blockpen{effacer tout} \end{scratch}&\\ \hline \begin{scratch}[scale=0.8]\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} } \end{scratch}&\\ \hline \begin{scratch}[scale=0.8]\blockmoreblocks{pentagone} \end{scratch}&\multicolumn{1}{|c|}{6\up{e}}\\ \hline \begin{scratch}[scale=0.8]\blockinit{Quand \greenflag est cliqué} \end{scratch}&\multicolumn{1}{|c|}{1\up{re}}\\ \hline \begin{scratch}[scale=0.8]\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{60}} \end{scratch}&\\ \hline \begin{scratch}[scale=0.8]\blockmove{aller à x : \ovalnum{0} y : \ovalnum{0}} \end{scratch}&\\ \hline \begin{scratch}[scale=0.8]\blockmoreblocks{pentagone} \end{scratch}&\\ \hline \begin{scratch}[scale=0.8]\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovaloperator{\ovalvariable{longueur} *\ovalnum{1.5}}} \end{scratch}&\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{document}