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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Pondichéry}
\lfoot{\small juin 1967}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Pondichéry juin 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

On donne l'expression
\[A(x) = (4x- 6)(x - 4) + \left(8x^2 - 18\right) - 2(2x - 3)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $A(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré. En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression $A(x)$ prend la valeur numérique $0$.
\item On considère la fraction rationnelle
\[F(x) = \dfrac{A(x)}{2x^2 + 8x + 8}.\]

Pour quelles valeurs de $x$ cette fraction est-elle définie ?

Simplifier cette fraction.
\item Pour quelle valeur de $x$ la fraction $F$ prend-elle la valeur numérique + 1 ?
\item Représenter graphiquement les variations des fonctions
\begin{center}$y = 2x - 3$\qquad  et \qquad $y =x + 2$.\end{center}
Retrouver graphiquement le résultat de la question 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère un carré ABCD, de côté $a$ ; la parallèle menée par A à la diagonale BD coupe la droite (CD) au point E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCE ?

Calculer en fonction de $a$ les mesures de ses côtés, de ses diagonales et de sa surface.
\item Soit I le point d'intersection de (BF) et (AC).

Calculer le rapport $\dfrac{\overline{\text{IA}}}{\overline{\text{IC}}}$ et le rapport des aires des triangles IAB et ICE.

Calculer en fonction de $a$ les longueurs de segments [IA], [IC], [IB] et [IE].
\item Soit H le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur (BE). 

Montrer que le quadrilatère EAHC est inscriptible dans un cercle, que l'on déterminera.

Calculer le longueurs BH et IH.
\end{enumerate}
\end{document}