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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1990}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Pondichéry juin 1990 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer

\[8 - \dfrac17 + \dfrac34 \:;\quad   \dfrac75 \times \dfrac{13}{3} - 1\:\quad 4^5 - (- 5)^2\]

\item Développer et réduire

\[\left(\sqrt 5 + 3\right)\left(2\sqrt 5 - 4\right).\]

\item Factoriser

\[(x - 3)^2 - 2(x - 3).\]

\item Résoudre

\[7x + 5 = 5x - 21.\]

\item Quatre plants de géraniums et trois plants de bégonias coûtent 18~F{}.

Vingt plants de géraniums et cinq plants de bégonias coûtent $70$~F{}.

Quel est le prix d'un plant de géranium ? d'un plant de bégonia ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer dans un repère orthonormé les trois points :

\[\text{A}(1~;~3),\quad \text{B}(4~;~-1),\quad \text{C}(-3~;~0).\]

\item Montrer que AB = AC $= 5$.
\item Quelle est la nature du triangle ABC, sachant que BC $= 5\sqrt 2$ ?
\end{enumerate}



\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
Soit A le sommet d'un cône de révolution dont le cercle de base $(C)$ a pour centre O et pour rayon $3,5$~cm.

La hauteur [AO] mesure 7 cm.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.7)(1.5,3)
\psellipticarc(0,0)(1.4,0.65){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.4,0.65){0}{180}
\psline(-1.4,0)(0,2.7)(1.4,0)
\uput[ur](0,0){O}\uput[u](0,2.7){A}\uput[dr](1.1,-0.4){B}\uput[u](-0.6,-0.57){$(C)$}
\psline(0,2.7)(1.1,-0.4)
\psline[linestyle=dashed](1.1,-0.4)(0,0)(0,2.7)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{OAB}}$, B étant un point quelconque du cercle $(C)$.
\item Calculer le volume du cône.

(Dans le calcul du volume, on prendra $\dfrac{22}{7}$ comme valeur
approchée du nombre $\pi$)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC rectangle en A tel que AB $= 3$~cm
et BC $= 6$~cm.

Soit D le symétrique de B par rapport à la droite (AC).
\item Prouver que BD $= 6$~cm et CD $= 6$~cm.
\item Soit M un point qui se déplace sur le segment [BD].
On appelle $x$ la longueur du segment [DM].
	\begin{enumerate}
		\item Entre quelles valeurs peut varier $x$ ?
		\item Exprimer BM en fonction de $x$.
	\end{enumerate}	
\item On projette M en I sur le segment [CD], parallèlement à la droite (BC).
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que DI $= x$.
		\item Montrer que le périmètre du trapèze BMIC est $p = 18- x$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire la représentation graphique de la fonction affine $p$ définie par 
		
$p(x) = 18 - x$, pour $0 \leqslant x \leqslant 6$.
		
On prendra sur chacun des deux axes le centimètre comme unité.
		\item Lire sur le graphique (on fera apparaître les pointillés nécessaires) la valeur de $x$ pour laquelle le périmètre est égal à $15$~cm. 
		
Quelle est alors la position de M sur [BD] ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}