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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Portugal juin 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation
\[\dfrac{x -3}{2} - \dfrac{ 6 - x}{4} = \dfrac{2x}{3} - \dfrac{8x - 13}{4}.\]

\item Dans un système d'axes $x'$O$x$, $y'$O$y$, construire les droites représentatives des deux fonctions

\begin{center}$y = \dfrac{x -3}{2} - \dfrac{ 6 - x}{4}$\qquad et \qquad $y = \dfrac{2x}{3} - \dfrac{8x - 13}{4}.$\end{center}

Retrouver sur le graphique les résultats de la première question.
\item Les droites construites précédemment coupent l'axe $y'$O$y$ en B et C ; elles se coupent en A.

Calculer l'aire du triangle ABC.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soient ABC un triangle rectangle en A, [AH] la hauteur relative à l'hypoténuse [BC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur de l'hypoténuse, la hauteur et l'aire de ce triangle ABC, sachant que AB $= 3$~cm et AC $= 4$ cm.
\item Le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AH] coupe les côtés [AB] et [AC] respectivement en D et E. Que peut-on dire du quadrilatère ADHEP ?

Comparer la longueur des diagonales [AH] et [DE].
\item Montrer que les triangles ABC et ADE sont  semblables.

Peut-on en conclure qu'il passe un cercle par les quatre points B, D, E, C ?
\item Les tangentes en D et E au cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AH] coupent l'hypoténuse en M et N.

Montrer que MN est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
\end{enumerate}
\end{document}