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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Portugal juin 1955~\decofourright\\[7pt] Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Tracer les deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ représentant les variations des deux fonctions

\begin{center}$y = 2x - 3$,\qquad $y =- \dfrac13 x + 4$\end{center}

et calculer les coordonnées du point d'intersection, A, des deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$. Sur quelle droite remarquable le point A se trouve t-il ?
\item Du point B, de coordonnées $x = 2, y = - 1$, on trace la perpendiculaire $(P)$ à la droite $\left(D_1\right)$.

Quelle est son équation ?

Quelle particularité présente cette droite ?
\item Du même point B, on trace la parallèle, $(Q)$, à la droite $\left(D_2\right)$.

Quelle est son équation ?

En quel point la droite $(Q)$ coupe-t-elle l'axe des abscisses ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On donne deux points, O$_1$ et O$_2$, distants de $65$~mm et deux cercles, $\mathcal{C}_1$ de centre O$_1$ et de rayon $45$~mm et $\mathcal{C}_2$ de centre O$_2$ et de rayon $20$~mm.

Les deux cercles sont tangents extérieurement en T.

Une tangente commune extérieure touche $\mathcal{C}_1$ en A et $\mathcal{C}_2$
en B ; elle coupe la droite O$_1$O$_2$ en S et la tangente commune intérieure en H.

Tracer la figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que HT = HA = HB.

En déduire que le triangle ATB est rectangle.
\item Montrer que le triangle O$_1$HO$_2$ est semblable au triangle ATB.

Calculer la longueur HT.
\item On prolonge [AT], qui recoupe $\mathcal{C}_2$ en D, et (BT), qui recoupe $\mathcal{C}_2$ en E.

Montrer que A, O$_1$, E sont alignés, de même que B, O$_2$, D et que S, D et  E.
\end{enumerate}
\end{document}