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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Portugal}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Portugal}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip



\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient deux axes de coordonnées rectangulaires, $x'$O$x$ et $y'$O$y$, sur lesquels l'unité de longueur choisie est le centimètre.

Construire la droite $\left(D_1\right)$ représentative de la fonction $y = - 
x + 2$ et la droite $\left(D_2\right)$ représentative de la fonction $y = 2 x - 3$.

La droite $\left(D_1\right)$ coupe l'axe des abscisses $x'$O$x$  en A
et l'axe des ordonnées $y'$O$y$ en A$'$ ; la droite $\left(D_2\right)$ coupe $x'$O$x$ en B et $y'$O$y$ en B$'$.

Calculer les coordonnées de ces quatre points.
\item Déterminer graphiquement et algébriquement les coordonnées du point I, commun aux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ; montrer que I est le milieu de [AA$'$] et que $\left(D_2\right)$ est la médiatrice de [AA$'$].

Calculer B$'$A.
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient deux points A et B sur une droite. On construit les demi-droites A$x$ et B$y$ perpendiculaires à la droite (AB) et d'un même côté.

On marque sur A$x$ un point C et, sur B$y$, le point D tel que
\begin{center}OA$^2$ = OB$^2$ = AC $\times$ BD,\end{center}
O étant le milieu de [AB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles OAC et OBD sont semblables.

En déduire que l'angle $\widehat{\text{COD}}$ est droit.
\item Démontrer que les triangles COD et CAO sont semblables.

En déduire que [CO) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ACD}}$.
\item En supposant que AC $>$ BD, la droite (CD) coupe la droite (AB) au point E.

La bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BDE}}$ coupe cette droite (AB) en F.

Démontrer que (DF) est parallèle à (CO).
\item On suppose AB $= 6$~cm, AC $= 4$~cm.

Calculer les longueurs des segments [OC], [BD], [OD].
\end{enumerate}
\end{document}