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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Reims}
\lfoot{\small juin 1983}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Reims juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $f,\: g$ et $h$ les applications, de $\R$ dans $\R$, définies par

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& (3x - 5)(x - 4) - 3x(3x- 5) + 9x^2 - 25\\
g(x) &=& -2x +4\\
h(x) &=& \dfrac23 x - 4.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, simplifier et ordonner $f(x)$.
\item Calculer $f\left(- \dfrac43\right)$ et $f\left(2 - \sqrt 3\right)$.

Sachant que $1,732< \sqrt 3 < 1(733$, donner les valeurs
approchées à $10^{-2}$ près de $f\left(2 - \sqrt 3\right)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre, dans $\R$, les équations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 0$;
		\item $f(x) = g(x)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R$, l'inéquation suivante:

\[g(x) \geqslant h(x).\]

\item Construire dans un repère cartésien \Oij{} les représentations graphiques de $g$ et $h$.

Retrouver les résultats donnés en 5.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points suivants

\begin{center}A(0~;~3),\quad  B(7~;~4), \quad C$(2~;~-1)$ \quad et \quad D$(-5~;~-2)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadrilatère (A, B, C, D) est un parallélogramme.

On donnera les coordonnées du centre I de ce parallélogramme.
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BD}}$
dans la base $\left(\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$.
\item Démontrer que $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BD}}$ sont deux vecteurs orthogonaux.

Que peut-on en déduire pour le parallélogramme (A, B, C, D) ?
\item Soit le point E$\left(- \dfrac{14}{3}~;~\dfrac73\right)$
du plan.

Démontrer que les points A, B et E sont alignés.
\item Calculer $d$(I, A) et $d$(I, B).
\item Soit $x$ l'écart angulaire de l'angle géométrique 
$\widehat{\text{ABI}}$.


Déterminer $\tan x$.

En déduire, à l'aide des tables numériques, les  valeurs approchées à 1 degré près de cet écart angulaire.
\end{enumerate}
\end{document}