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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Reims juin 1972~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la quatrième proportionnelle des trois nombres suivants:
\begin{center}$4 - \sqrt 2,\quad 5 + \sqrt{11}$\quad et \quad $5 - \sqrt{11}$.\end{center}
\item Calculer les nombres $x$ tels que

\[\dfrac{3\left(\sqrt 5 - \sqrt 2\right)}{x}   = \dfrac{x}{9\left(\sqrt 5 + \sqrt 2\right)}.\]
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère l'expression

\[E(x~;~y) = (y - 1)^2 - (x - 2)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Mettre cette expression sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
\item Tracer, dans un même repère d'axes $x'\text{O}x,~y'\text{O}y$, les deux droites  représentant respectivement les fonctions
\begin{center}$y = x - 1$ \qquad et \qquad $y = - x + 3$.\end{center}
\item Quelle est la valeur numérique de $E(x~;~y)$ si $x$ et $y$
sont les coordonnées d'un point de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ?
\item $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$  se coupent en A. Donner, par le calcul, les coordonnées de A.
\item  $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$  coupent respectivement $y'\text{O}y$ en I et en J.

On désigne par K le point de $y'\text{O}y$ tel que l'on ait
\[\overline{\text{IK}}  +3\overline{\text{JK}} =  0.\]

Calculer $\overline{\text{OI}},\: \overline{\text{OJ}}$ et $\overline{\text{OK}}$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip


Soit trois points A, B et D, pris dans cet ordre, sur une même droite $(\mathcal{D})$.

On considère le cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre [AB], le cercle $(\mathcal{C}')$ de diamètre [AD]et un point P de la tangente commune en A à $(\mathcal{C})$ et à $(\mathcal{C}')$.

La droite (PB) recoupe le cercle $(\mathcal{C})$ en B$'$ ; la droite (PD) recoupe le cercle $(\mathcal{C}')$ en D$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les angles AB$'$P et AD$'$P.
		\item En déduire que les quatre points A, P, B$'$ et D$'$ appartiennent à un même cercle, dont on précisera un diamètre.
		\item Que peut-on dire de la droite $(\mathcal{D})$ par rapport à ce cercle ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer l'égalité 
\[\overline{\text{PB}} \cdot \overline{\text{PB}'} = \overline{\text{PD}} \cdot \overline{\text{PD}'}.\]
		\item En déduire que les quatre points B, B$'$, D et D$'$ appartiennent à un mème cercle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}