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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Reims}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Reims juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Développer $\left(4 - 3\sqrt 2\right)^2$.

Déterminer le plus grand des deux réels $4$ et $3 \sqrt 2$.

En déduire l'écriture, au moyen d'un seul radical de $\sqrt{34 - 24 \sqrt 2}$.


\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère la fonction polynôme $P$ définie par

\[P(x) = (2x - 1)(x + 5) - \left(4x^2 - 1\right).\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $P(x)$.
\item Factoriser $P(x)$.
\item Calculer $P\left(\dfrac54\right), \:P(0),\: P\left(\dfrac{13}{4}\right)$. 

$P$ est-elle une bijection ?
\item Soit $F$ la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$, définie par

\[F(x) = \dfrac{ P(x)}{(- x +4)(2x + 5)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $D$, de $F$.
		\item Simplifier $F(x)$ pour $x$ appartenant à $D$.
		\item Calculer $F\left(\sqrt 2\right)$. Rendre rationnel le dénominateur de ce quotient.
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $F(x) < 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

On considère les points A, B, C et D définis par

\begin{center}A$(-1~;~1)$,\qquad B$(-1~;~-4)$,\qquad C$(3~;~-1)$,\qquad D$(-5~;~-2)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (A, D, B, C) est un parallélogramme.
\item Soit K le milieu de [AC]. Déterminer les coordonnées de K.
\item Montrer que $\vect{\text{AK}}$ est orthogonal à $\vect{\text{BK}}$.

Que peut-on en conclure pour le triangle (A. B, C) ?
\item Déterminer les coordonnées du centre R du cercle $\mathcal{C}$ qui passe par A, K et B.
\item Soit K$'$ l'image de K par la symétrie centrale de centre R : $S_{\text{R}}$.

Quelles sont les coordonnées de K$'$ ?
\item Soit R$'$ la projection orthogonale de R sur (BK).

Démontrer que $\vect{\text{RR}'} = \dfrac12 \vect{\text{K}'\text{B}}$.
\end{enumerate}
\end{document}