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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Reims}
\lfoot{\small juin 1987}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Reims juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner sous forme de fraction irréductible :

\[A = 1 - \dfrac{15}{12} + \dfrac14\:;\qquad B = \dfrac95 \times \left(\dfrac23 \right)^2\:; \qquad  
C = \left(1 + \dfrac12 \right) : \left(1 - \dfrac12 \right).\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire sous la forme : $a \times 10^p$\: $(a \in \Z, \: p \in \Z)$.

\[D = 0,045\:;\qquad E = 75 \times  10^{-5} \times 1,5 \times 10^2.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Écrire sous la forme : $a + b\sqrt 3$,\: $(a \in \Z, \: p \in \Z)$.

\[F = \left(3 - \sqrt 3 \right)^2\:;\qquad H = \dfrac{3 - 2\sqrt 3}{2 - \sqrt 3}.\]

Soit $I = 2\sqrt 3 - 5$. Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$ encadrer $I$. 

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Résoudre dans $\R$ : 

\[\dfrac23 x +5 = 12\:  ;\qquad x - 7 < 3x + 2.\]

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC rectangle en A tel que AB =4 et BC =8 (unité: le cm).
\item Calculer AC.
\item Calculer le cosinus de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABC}}$.

En déduire les mesures de $\widehat{\text{ABC}}$ et de $\widehat{\text{ACB}}$.

\[\begin{array}{|c|c|}\hline
\text{Degré} 	&\text{Cosinus}\\ \hline
58 				&\np{0,5299}\\ \hline
59 				&\np{0,5150}\\ \hline
60 				&0,5		\\ \hline
61 				&\np{0,4848}\\ \hline
62 				&\np{0,4695}\\ \hline
\end{array}\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} (unité : le cm).

Placer les points A$(-2~;~3)$, B(1~;~2), C$(-1~;~6)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les composantes de $\vect{\text{AB}}$ et de $\vect{\text{AC}}$.
\item Calculer AB et AC.
\item Montrer que ABC est un triangle rectangle. et isocèle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $(2x - 5)^2$.
\item Soit 

\[A(x) = 4x^2 - 20x + 25 + (2x - 5)(7 - 2,5x).\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $A(x)$.
\item Factoriser $A(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ : $(2x - 5)^(2 - 0,5x) = 0$.
\end{enumerate}
\item Soit $f$ et $g$ deux applications définies par 

\[\begin{array}{l l c l}
f :	&\R	&\to 			&\R\\
	&x 	&\longmapsto 	& 2x- 5,
\end{array}\qquad  
\begin{array}{l l c l}
g:	&\R	&\to 			&\R\\
	&x 	&\longmapsto 	&2 - 0,5x.
\end{array}\]

Construire les représentations graphiques de $f$ et $g$ dans un repère orthonormé \Oij.

 On les appellera respectivement $D_1$ et $D_2$.
\item Résoudre dans $\R  \times \R$ :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{0,}2x - y - 5&=&0\\
0,5x + y - 2&=&0.
\end{array}\right.\]

\item Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de $D_1$ et $D_2$ ?
\item Montrer que $D_1$ et $D_2$. sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\end{document}