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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Reims }
\lfoot{\small septembre 1988}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Reims septembre 1988 \decofourright}}\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit les quatre nombres réels suivants :

\[A = \dfrac{1}{\sqrt 5+ \sqrt 6}\:; \quad B = \sqrt  5 - \sqrt 6 \:; \quad C = \sqrt 6 - \sqrt 5\:; \quad D = - \sqrt 5 - \sqrt 6.\]

\begin{enumerate}
\item Donner une écriture de A sans radical au dénominateur.
\item Deux nombres sont égaux, lesquels ?
\item Deux nombres sont opposés, lesquels ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire plus simplement :

\[\begin{array}{l l}
2\sqrt{54}  - \sqrt{24} - \sqrt{150}\:;& \sqrt{15} \times  \sqrt{21} \times \sqrt 5 ;\\
- \dfrac{3}{7} \times \dfrac{21}{12} \times \dfrac69 \times \left(- \dfrac25 \right)\times \dfrac{35}{3}\:;&\left(5 - \dfrac12 + \dfrac23 \right) - \left(\dfrac72 - \dfrac{10}{5} \right) - \left(1 + \dfrac23 \right)
\end{array}\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $f(x) =(x - 3)^2 - (2x + 7)^2$.

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Résoudre dans $\R$ l'inéquation

\[- x + 2(1 - x) \geqslant - x + 1.\]

Donner l'ensemble des solutions sous forme d'un intervalle de $\R$.

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un cercle $C$ de diamètre 8 cm. Tracer un diamètre [A, B]. 

Placer le point C sur le cercle tel que AC $= 4$~cm. 

Dans le triangle (ABC), on construit la médiane [C, I] et la hauteur [C, H].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle (ABC) ?
\item Calculer les distances BC, CI, CH.
\item Quelle est la nature du triangle (ACI) ? En déduire la
mesure de l'angle $\widehat{\text{CAB}}$, puis la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
\item On construit le diamètre [D, E] orthogonal au diamètre [A, B].

Que peut-on dire du quadrilatère(ADBE) ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne le dessin ci-après où les droites (AB) et (DC) sont parallèles ainsi que les droites (BC) et (DE).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,3.6)
%\psgrid
\psline(7.5,0.6)(0.3,0.6)(4.3,3.4)%EOD
\psline(1,2)(3.3,0)\psline(1.9,2.5)(4.8,0)
\psline(0.8,1.8)(5,0.26)\psline(2.2,2.13)(7.4,0.5)
\uput[u](2.4,2.06){D} \uput[u](1.6,1.5){B} \uput[l](0.3,0.6){O}
\uput[dl](2.6,0.6){A} \uput[dl](4.1,0.6){C} \uput[dl](7.1,0.6){E}
\uput[ul](0.9,1.05){2}\uput[d](1.3,0.6){3}\uput[d](3.35,0.6){2}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer BD.
\item Calculer CE.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé (0, T,j), placer les points: v'
A( - 1, 1); B(S, 8); C(3,0).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle (ABC) est rectangle en C.
\item Déterminer les coordonnées du point D pour que (ACBD) soit un rectangle. 

Soit I le centre de ce rectangle.
\item Construire A$'$ symétrique de A par rapport à C. 

Calculer les coordonnées du point A$'$.
\item Démontrer que la droite (DA$'$) a pour équation : 

\[5x + 3y - 32 = 0.\]

Trouver une équation de la droite (AB).
\item Soit J l'intersection des droites (AB) et (DA$'$). 

Calculer les coordonnées de J.
\end{enumerate}
\end{document}