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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1960}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small février 1960}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes février 1960~\decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Deux frères, André et Paul, se partagent un sac de billes de façon que les nombres de billes qu'il reçoivent soient proportionnels à 3 et 5.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien chacun d'eux reçoit-il de billes, s'il y en a $80$ dans le sac ?
\item André reçoit $8$ billes de moins que Paul. Combien y a-t-il de billes dans le sac et quelle est la part de chacun ?
\item Combien André reçoit-il de billes si la somme des carrés des nombres représentant chaque part est égale à $306$ ?
\end{enumerate}

\textbf{N. B. -} Les trois questions sont indépendantes.
\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un triangle ABC. Par C, on mène la demi-droite [C$x$) parallèle à (BA) et située du même côté que A par rapport à (BC).

Sur [C$x$), on porte D tel que CD $= \dfrac{\text{AB}}{3}$.

(DC) coupe (AC) en E et (AD) coupe la droite (BC) en F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur des rapports $\dfrac{\text{EA}}{\text{EC}}$ et $\dfrac{\text{FC}}{\text{FB}}$, puis celle de $\dfrac{\overline{\text{EA}}}{\overline{\text{EC}}}$ et $\dfrac{\overline{\text{FC}}}{\overline{\text{FB}}}$.
\item La droite (FE) coupe (DC) en J et (AB) en I.

Calculer $\dfrac{\text{DJ}}{\text{AI}}$ et $\dfrac{\text{DJ}}{\text{JB}}$

En déduire la position de 1sur AB, puis celle de J sur DC.
\item Soit K le milieu de [IB].

Comparer les directions (EK) et (BC).

\end{enumerate}
\end{document}