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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rennes juin 1951~\decofourright}}}

\medskip

\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Un voyageur qui se rend à pied de la ville A à la ville B part à midi en faisant en moyenne $80$~m à la minute.

À une certaine distance de A il monte dans un tramway qui part à midi 15 min de A pour aller également en B, faisant en moyenne $12$~km à l'heure.

Le voyageur arrive 3/4 d'heure plus tôt que s'il avait continué à marcher à pied.

On demande:


\begin{enumerate}
\item à quelle distance de A il est monté en tramway 
\item quelle est la distance de A à B.
\item Représenter graphiquement le mouvement du voyageur du point de départ au point d'arrivée en prenant en abscisses les temps (1~mm pour une minute) et en ordonnées les espaces (1 cm pour \np{1000}~m).

Écrire l'équation du mouvement correspondant aux deux parties du trajet du voyageur.
\item Indiquer comment on peut, à l'aide du graphique, retrouver les résultats des deux premières questions.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soient un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$ et, sur le prolongement de [AB] au delà de B, un point C tel que BC $= 4R$.

Sur une droite variable passant par A et coupant à nouveau le cercle $\mathcal{C}$ en D on prend un point M tel que
\[\overline{\text{AM}} \times  \overline{\text{AD}} = \overline{\text{AO}} \times \overline{\text{AC}}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les deux triangles ADO et  AMC.
\item Quelle particularité présente le quadrilatère ODMC ?
\item La droite (AD) tournant autour du point A, quel est le lieu géométrique du point M ?
\item Soit $\alpha$ la mesure de l'angle $\widehat{\text{OAD}}$.

Pour quelle valeur de $\alpha$ les droites (OD) et (CM) sont-elles parallèles ?
\item Pour quelle valeur de $\alpha$ les droites sont-elles perpendiculaires ?

Calculer dans ce cas en fonction de $R$ l'aire du quadrilatère ODMC.
\end{enumerate}
\end{document}