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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small B. E. P. C.}
\lfoot{\small{Rennes}}
\rfoot{\small{juin 1952}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rennes juin 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

On considère l'expression 
\[E = 2(x + 2)(2x - 1) - 2\left(x^2- 4\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre E sous la forme d'un produit de facteurs.
\item En déduire les valeurs de $x$ qui annulent $E$.
\item Simplifier la fraction rationnelle
\[y = \dfrac{E}{2x + 4}.\]

\item Représenter graphiquement la droite parallèle à la première bissectrice des axes passant par le point A(0~;~1).

Quelle est l'équation de cette droite ?

Donner les coordonnées du point où elle coupe l'axe des $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Dans un triangle isocèle ABC de base [BC] on mène les hauteurs [BH] et [CK] et la perpendiculaire en C à (AC) qui coupe le prolongement de [AB] en D.
\begin{enumerate}
\item Comparer les rapports $\dfrac{\text{AH}}{\text{AB}}$ et $\dfrac{\text{AC}}{\text{AD}}$ ;

Démontrer la relation
\begin{center}AK $\cdot$ AD = $\overline{\text{AB}}^2$\end{center}
\item Que représente [CN) pour l'angle $\widehat{\text{KCD}}$ ?

Comparer les rapports $\dfrac{\text{BK}}{\text{BD}}$ et $\dfrac{\text{CK}}{\text{CD}}$
\item On mène (BE) perpendiculaire à (CD).

démontrer que les cinq points B, K, H, C et E appartiennent à un même cercle.
\item Comparer les triangles KHB et EKD.

\end{enumerate}
\end{document}