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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Rennes}}
\rfoot{\small{juin 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Rennes juin 1959}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'expression
\[A(x) = 2(x - 3)^2- x^2 + 9 - (3 -x)(x + 8).\]

Effectuer les opérations et donner à $A(x)$ la forme d'un polynôme réduit et ordonné.
\item Décomposer $A(x)$ en un produit de facteurs.
\item Soit la fraction 
\[F(x) = \dfrac{2x^2 -7x + 3}{3x^2 - 27}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Simplifier la fraction.
		\item Trouver les valeurs numériques de $F(x)$ pour

\[x = - 3,\qquad x =\dfrac12, \qquad x = 2\sqrt 3.\]
		\item Calculer $x$ pour que cette fraction $F(x)$ soit égale à 1.
	\end{enumerate}
\item Représenter sur le même graphique les fonctions
\begin{center}$y_1 = 2x - 1$ \qquad et\qquad  $y_2 = 3x + 9.$\end{center}

Comment peut-on retrouver au moyen de ce graphique la valeur de $x$ telle que $F(x) = 1$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On donne un triangle ABC rectangle en A et dont les côtés de l'angle droit sont tels que  AB $= 18$~mm et AC $= 24$~mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BC.
\item On mène par le milieu M de [BC] la perpendiculaire à l'hypoténuse, coupant (AC) en H et (BA) en E.

Montrer que les triangles EMB et CAB sont semblables.

Calculer EB et EM.
\item Démontrer que les quatre points E, A, M, C sont situés sur un même cercle, dont on précisera le centre O et dont on calculera le rayon.

Calculer BO.
\item Montrer que (BH) est perpendiculaire à (EC).
\end{enumerate}
\end{document}